Revista Del Programa De Matem´ aticas I (2014) 77–85 Facultad de Ciencias B´ asicas c Programa de Matem´ aticas Vol. I , N o 1, (2014) Espacio de Sobolev W m, p ( Ω) con 1 ≤ p ≤ +∞ Sobolev Spaces W m, p ( Ω) with 1 ≤ p ≤ +∞ Jaider E. Blanco Gamarra 1 1 Programa de Maestr´ ıa en Matem´ aticas Universidad del Atl´ antico, Colombia E-mail: jaiderbalnco@mail.uniatlantico.edu.co Cristian Rojas Milla 2 2 Programa de Matem´ aticas Universidad del Atl´ antico, Colombia E-mail: cristianrojas@mail.uniatlantico.edu.co Received / Recibido: 2/11/2013. Accepted / Aceptado: 11/02/2014 Resumen En este art´ ıculo hacemos una breve revisi ´ on de los espacios de Sobolev, para lo cual presentamos su estructura vectorial ligada a los espacios L p . Adem´ as, Se muestran que dichos espacios son normados, de Banach, separables y algunos son reflexivos (i,e; es isomorfo a su bidual) y finalmente se demostrar´ an los teoremas de inmersi ´ on y de aproximaci ´ on por funciones suaves en dichos espacios. Palabras claves: Espacios de Sobolev, espacio separables, espacios reflexivos, Desigualdad de Sobolev, Teoremas de Inmersi ´ on, desigualdad de Poincar´ e. Abstract This article is a brief review of Sobolev spaces, for which we present vector structure linked to L p spaces. In addition, such spaces are displayed are normed, Banach, and some are separable reflexive (i, e, is isomorphic to its bidual) and finally immersion prove theorems and approximation by smooth functions in such spaces. Keywords: Sobolev space, space separable reflexive spaces, Sobolev inequality, Immersion theorems, Poincar´ e inequality. 1. Introducci ´ on La teor´ ıa de los espacios de Sobolev se ha ori- ginado por el matem´ atico ruso SL Sobolev alre- dedor de 1938 [ SO] . Estos espacios no se intro- dujeron para algunos prop´ ositos te ´ oricos , sino por la necesidad de la teor´ ıa de la ecuaciones di- ferenciales parciales . Est´ an estrechamente rela- cionados con la teor´ ıa de las distribuciones , ya que los elementos de estos espacios son clases especiales de distribuciones. Con el fin de discu- tir la teor´ ıa de los espacios de Sobolev vamos a empezar con algunos conceptos b´ asicos simples que son necesarios para la introducci´ on y el es- tudio de estos espacios [2,4,5]. Los espacios de Sobolev, que pueden ser repre- sentados brevemente, como las clases de funcio- nes que poseen derivadas d´ ebiles en los espa- cios, ocupan un lugar destacado en el an´ alisis