LOVISOLO, DA SILVA E DINIZ – CONSTRUC ¸ ˜ AO DE FRAMES DE EXP. DECRESCENTES PARA ALGO. DE DECOMP. ADAPT. DE SINAIS Construc ¸˜ ao de Frames de Exponenciais Decrescentes para Algoritmos de Decomposic ¸˜ ao Adaptativa de Sinais Lisandro Lovisolo 1,2 , Eduardo A. B. da Silva 1 , Paulo S. R. Diniz 1 Resumo— Neste trabalho avaliamos a possibilidade de construc ¸˜ ao ou gerac ¸˜ ao de frames de exponenciais decrescentes. Isto ´ e feito tanto no contexto de sistemas de Gabor gerados a partir de deslocamentos e modulac ¸˜ oes de uma exponencial decrescente como no caso de frames de wavelets gerados a partir de dilatac ¸˜ oes e deslocamentos de uma exponencial decrescente. Mostramos que com a primeira abordagem ´ e poss´ ıvel gerar frames enquanto com a segunda n˜ ao. Entretanto, mostramos formas de combinar dilatac ¸˜ ao, deslocamento e modulac ¸˜ ao para gerar frames de exponenciais decrescentes, e mostramos que este resultado vale para func ¸˜ oes mais gerais. Palavras-Chave— Sen ´ oides amortecidas, Dicion´ arios, Frames, Decomposic ¸˜ oes adaptativas, Decomposic ¸˜ oes redundantes. Abstract— In this work we evaluate the possibility of the construction or generation of decreasing exponential frames. This is done both for Gabor systems generated from translations and modulations of a decreasing exponential and for the case of wavelet frames generated trough dilations and translations of a decreasing exponential. We show that for the first approach it is possible to generate frames whereas for the second it is not. However, we show how to combine scaling, translation and modulation in order to generate decreasing exponential frames, and we see that this result is valid for more generic functions. Keywords— Damped sinusoids, Codebooks, Frames, Adaptive decompositions, Redundant decompositions. I. I NTRODUC ¸˜ AO Neste trabalho lidamos com a gerac ¸˜ ao de dicion´ arios a partir exponenciais decrescentes. Desta forma, este artigo trata da possibilidade de representar sinais com sen´ oides amortecidas. Deseja-se decompor sinais com uma combinac ¸˜ ao linear de elementos, estruturas ou componentes senoidais amortecidas. Assim sendo, um sinal x(t) ser´ a decomposto como x(t)=  k α k e −(λ k +ξ k )(t−t0 k ) u(t − t 0 k ). (1) Esta representac ¸˜ ao ´ e similar ` a obtida com o m´ etodo Prony no qual todas as componentes, e (−λ+ξ)(t−t 0 ) , iniciam no mesmo instante t 0 , enquanto que, no modelo da eq. (1) cada componente g k (t)= e −(λ k +ξ k )(t−t0 k ) u(t − t 0 k ) possui seu pr´ oprio t 0 . Esta representac ¸˜ ao ´ e motivada tamb´ em por estas componentes serem soluc ¸˜ oes de equac ¸˜ oes diferenciais, que est˜ ao bastante presentes na modelagem de sistemas f´ ısicos. Um algoritmo capaz de obter tal representac ¸˜ ao ´ eo Matching Pursuits [1], [2]. Diversas aplicac ¸˜ oes utilizam o modelo da eq. 1 – COPPE El´ etrica/UFRJ, 2 – DETEL/UERJ e-mails: lisandro@uerj.br, eduardo@lps.ufrj.br, diniz@lps.ufrj.br. Este trabalho foi parcialmente financiado pelo CNPQ (1) no paradigma dos Matching Pursuits para decompor sinais tanto para an´ alise, compress˜ ao e filtragem. Goodwin realizou um estudo profundo desta abordagem para a decomposic ¸˜ ao de sinais de audio [3]. Em outros trabalhos esta abordagem foi utilizada na decomposic ¸˜ ao de sinais oscilogr´ aficos de redes de distribuic ¸˜ ao de energia el´ etrica [4]. O procedimento, de forma geral, ´ e a decomposic ¸˜ ao adaptativa do sinal em termos de estruturas (pr´ e-definidas) de um dicion´ ario. O grande problema nesta abordagem ´ e que necessita-se de um dicion´ ario coerente – no qual as estruturas que o comp˜ oem tenham sentido f´ ısico, ou seja, correspondam aos fenˆ omenos presentes no sinal que se deseja decompor/analisar/comprimir. Al´ em disso, para serem flex´ ıveis e eficazes os dicion´ arios dever˜ ao conter um n´ umero de estruturas t˜ ao grande ou maior que a quantidade de fenˆ omenos que se deseja extrair do sinal sob estudo. Isto leva a dicion´ arios sobre-completos, isto ´ e, que s˜ ao capazes de representar qualquer ponto do espac ¸o R N , mas com uma cardinalidade (n´ umero de elementos que comp˜ oem o dicion´ ario) C muito maior que a dimens˜ ao N . Como, em geral, C >> N o dicion´ ario ´ e chamado, tamb´ em, de redundante. Na pr´ atica os parˆ ametros destes dicion´ arios tˆ em frequentemente que ser amostrados. Assim duas importantes quest˜ oes se colo- cam. A primeira seria como projetar dicion´ arios D para uma aplicac ¸˜ ao espec´ ıfica, ou seja, com caracter´ ısticas e estruturas desejadas. A segunda seria como amostrar os parˆ ametros dos dicion´ arios de forma que o dicion´ ario mantenha caracter´ ısticas ´ uteis para decompor os sinais. Como ser´ a visto adiante isto est´ a relacionado ao conceito de frames. Desta forma neste trabalho ´ e investigada a formac ¸˜ ao de frames a partir de exponenciais decrescentes. Na sec ¸˜ ao II relacionamos o modelo da eq. (1) ` as decomposic ¸˜ oes adaptativas de sinais, na verdade, discutimos como ´ e poss´ ıvel decompor um sinal de acordo modelo como o da eq. (1). Fazemos ent˜ ao uma breve revis˜ ao de alguns dos principais algoritmos existentes para obter representac ¸˜ oes adaptativas. Vemos ent˜ ao que estes m´ etodos est˜ ao baseados em dicion´ arios, o que ir´ a levar ao conceito de frames que discutiremos na sec ¸˜ ao III, juntamente com as abordagens para gerac ¸˜ ao de frames a partir de uma func ¸˜ ao dada. Veremos na sec ¸˜ ao III.B que h´ a trˆ es formas de gerar estes frames, os chamados frames de translac ¸˜ oes, os sistemas de Gabor e os frames de wavelets. Na sec ¸˜ ao IV veremos ent˜ ao como gerar frames a partir de exponenciais decrescentes. Veremos na sec ¸˜ ao IV.A que ´ e poss´ ıvel gerar um sistema de Gabor a partir de uma exponencial, e na sec ¸˜ ao IV.B que n˜ ao se pode gerar um frame de wavelets a partir de uma exponencial. Na sec ¸˜ ao IV.C