ENERGETIKA. 2007. T. 53. Nr. 3. P. 10–15 © Lietuvos mokslų akademija, 2007 © Lietuvos mokslų akademijos leidykla, 2007 Matematinių modelių parametrų jautrumo ir rezultatų neapibrėžtumo statistiniai tyrimo metodai Procesai ir reiškiniai įvairiose mokslo srityse dažnai analizuojami pasitelkus matematinius mo- delius. Pastaruoju metu matematiniai modeliai plačiai pradėti taikyti ne tik technologiniuose ar fiziniuose moksluose, bet ir biologijoje, farmacijoje ar kitose anksčiau buvusiose beveik tik eksperimentinėse srityse. Tačiau matematinių modelių ir kompiuterinių paketų taikymas iš- kelia ir naujų problemų bei uždavinių. Vienas tokių uždavinių yra efektyvus modelio rezultatų neapibrėžtumo įvertinimas bei parametrų jautrumo analizė. Šio straipsnio tikslas yra apžvelgti fizikinių procesų ar reiškinių matematinių modelių neapibrėžtumo ir jautrumo analizėje taiky- tinus statistinius metodus, įvertinant jų pranašumus bei trūkumus. Raktažodžiai: matematiniai modeliai, rezultatų neapibrėžtumas, statistinė analizė, parametrų jautrumo indeksai, koreliacijos ir standartizuoti regresijos koeficientai Vytis Kopustinskas, Robertas Alzbutas, Juozas Augutis Lietuvos energetikos institutas, Branduolinių įrenginių saugos laboratorija, Breslaujos g. 3, LT-44403 Kaunas El. paštas: robertas@mail.lei.lt 1. ĮVADAS Šio straipsnio tikslas yra apžvelgti fizikinių procesų ar reiški- nių matematinių modelių neapibrėžtumo ir jautrumo analizėje taikytinus statistinius metodus. Procesai ir reiškiniai įvairiose mokslo srityse dažnai analizuojami pasitelkus matematinius modelius. Paprastai matematiniai modeliai yra aprašomi di- ferencialinių lygčių sistemomis su įvairiomis kraštinėmis są- lygomis. Realių sudėtingų fizikinių procesų atveju tokių lygčių sistemų sprendinius galima gauti tik skaitmeniniais metodais. Tam tikslui yra kuriami specialūs programų paketai, leidžiantys analizuoti fizikinius procesus konkrečių sąlygų ar konkrečios vartotojo analizuojamos techninės sistemos atveju. Įdomu pa- žymėti, kad matematiniai modeliai plačiai taikomi ne tik tech- nologiniuose ar fiziniuose moksluose, bet ir biologijoje, farma- cijoje ar kitose anksčiau buvusiose beveik tik eksperimentinėse srityse. Platus matematinių modelių taikymas iškelia ir naujų pro- blemų bei uždavinių. Vienas tokių uždavinių yra efektyvus mo- delio rezultatų neapibrėžtumo įvertinimas. Šis uždavinys kyla dėl to, kad neįmanoma visiškai tiksliai nustatyti pradinių mo- delio parametrų reikšmių ir realiose situacijose jos gali būti skir- tingos, nei naudojamos modelyje. Praktiniuose skaičiavimuose dažniausiai svarbu parodyti, kad tam tikri sistemos ar reiškinio kintamieji (pvz., maksimalus pasiekiamas slėgis, temperatūra, sprogimo jėga, vandens lygis ir kt.) neviršys leistinų ribų. Šiai problemai nagrinėti būtina įvertinti modelio rezultatų neapi- brėžtumą. Kitas ne mažesnę praktinę reikšmę turintis uždavinys yra modelio pradinių parametrų jautrumo įvertinimas. Modelio pa- rametrų jautrumo indeksai parodo, kaip svarbus yra konkretus parametras modelio rezultatui. Jautrumo indeksai paprastai yra kiekybiniai dydžiai, todėl parametrų svarbą galima ranguoti ir nustatyti labiausiai modelio rezultatus veikiančius parametrus. Jautrumo analizės rezultatai yra svarbūs siekiant nustatyti, ku- riuos parametrus verta tikslinti, o kurių tikslumo padidinimas nesumažina rezultato neapibrėžtumo. Kadangi tikslus modelio parametrų įvertinimas dažnai susijęs su nemažomis išlaidomis (ypač jei reikia atlikti papildomus eksperimentus), jautrumo analizės rezultatai leidžia efektyviai paskirstyti tyrimų priorite- tus. Šiame straipsnyje pateikiama matematinių modelių rezul- tatų neapibrėžtumo ir parametrų jautrumo analizės statistinių metodų apžvalga. Straipsnyje taip pat aptariami šių metodų pra- našumai, trūkumai, taikymo prielaidos ir sąlygos. Pastaruoju metu nemažai taikomųjų darbų neapibrėžtumo ir jautrumo analizės srityje atlikta ir Lietuvoje [1–6]. 2. MODELIO REZULTATŲ NEAPIBRĖŽTUMO ANALIZĖ 2. 1. Matematinio modelio aprašymas Matematinius modelius dažnai patogu aprašyti kaip funkciją: y = F (x 1 , x 2 ,..., x N ); (1) čia x 1 , x 2 ,..., x N – modelio parametrai; N – modelio parametrų skaičius; y – modelio rezultatas; F(·) – funkcija, siejanti modelio parametrus ir modelio re- zultatą. Matematinio modelio aprašymas (1) yra šiek tiek supapra- stintas, nes realiuose modeliuose dažniausiai turime ne vieną rezultatą, o daug rezultatų, apibūdinančių įvairias nagrinėjamo proceso ar reiškinio charakteristikas, t. y. y yra vektorius, o ne skaliarinis dydis. Taip pat dažnai turime analizuoti rezultatus,