[GJamP] Actes des Rencontres d’Analyse Complexe (Poitiers-Futuroscope, 1999), 81–104, Atlantique, Poitiers, 2002. Z´ eros de fonctions holomorphes et contre-exemples en th´ eorie des radars Gustavo GARRIG ´ OS, Philippe JAMING & Jean-Baptiste POLY ∗ * Math´ ematiques SP2MI, BP 179, 86960 Futuroscope Cedex, FRANCE R´ esum´ e: Nous montrons comment les solutions aux probl` emes de type re- construction de phase sont li´ ees aux z´ eros de fonctions holomorphes. En par- ticulier, le probl` eme d’ambiguit´ e radar se s´ epare en deux probl` emes distincts. Le premier, que nous appelons probl` eme restreint, ne fait pas intervenir les z´ eros de fonctions holomorphes et est enti` erement r´ esolu dans [Jam4]. Pour le second, nous apportons une r´ eponse partielle via une discr´ etisation du probl` eme. On montre ainsi que les solutions qui ne sont pas d´ ej` a des solutions du probl` eme restreint sont rares, mais existent. Mots Cl´ es: Probl` eme d’ambiguit´ e radar. AMS subject class : 42B10, 81S30, 94A12. 1. Introduction. Les probl` emes de reconstruction de phase apparaissent dans de nombreux domaines de la physique (optique, cristallographie, physique quantique ... cf. [FG] [Hu], [KST]). Il s’agit de reconstruire un signal ` a partir de la seule donn´ ee du module de sa transform´ ee de Fourier, la phase ´ etant en g´ en´ eral perdue quand on mesure ces signaux. De tels probl` emes sont en g´ en´ eral mal pos´ es et, sans hypoth` eses suppl´ ementaires, ils ont une infinit´ e de solutions. Il se trouve que l’´ etude de z´ eros de fonction holomorphes entre en jeu dans la description des solutions de tels probl` emes (voir section 2.1). Dans cet article, nous nous concentrons sur le probl` eme d’ambiguit´ e radar ou, plus pr´ eci- s´ ement, sur une version en dimension finie de celui-ci : ´ Etant donn´ e un polynˆ ome trigonom´ etrique f (t)= N  n=0 a n e int , d´ eterminer tous les polynˆ o- mes trigonom´ etriques g(t)= N  n=0 b n e int tels que (P N ) |Af (k,t)| = |Ag(k,t)| pour tout k ∈ Z,t ∈ R o` u Af (k,t)=  n a n a n−k e int . Notre principal r´ esultat est que, pour N ≥ 3, le probl` eme P N est bien pos´ e(i.e. qu’il n’a que des solutions triviales) ` a moins que les coefficients (a 0 ,...,a N ) de f n’appartiennent ` a une certaine vari´ et´ e semi-alg´ ebrique r´ eelle de C N+1 de codimension r´ eelle au moins 1. De plus, nous d´ ecrivons enti` erement cette vari´ et´ e dans les petites dimensions (N = 3 et N = 4) et montrons qu’elle est de codimension r´ eelle exactement 1. Enfin, des exemples de polynˆ omes lacunaires montrent que cette vari´ et´ e n’est pas vide d` es que N ≥ 3. 263