JOURNAL OF FUNCTIONAL ANALYSIS 52, 129-145 (1983) Semi-groupes dans le probkme des moments HENRI BUCHWALTER ET GILLES GASSIER Laboratoire d’Analyse Fonctionnelle, Dipartement de Mathgmatiques, UniversitP Claude-Bernard, Lyon I, 43, boulevard du 11 novembre 1918. F-69622 Villeurbanne Cedex, France Communicated by A. Connes Received January 1, 1983 INTRODUCTION Les differents problemes classiques des moments sont bien connus, qu’il s’agisse du probleme de Hamburger (sur R), du probleme de Stieltjes (sur [0, co)), du probleme de Hausdorff (sur [0, I]) et de ses extensions au cas des cubes Ip = [0, llp de Rp [4]. Trh recemment l’un des co-auteurs vient de donner plus gineralement la solution, mise sous differentes formes, du probleme des moments sur un convexe compact K de Rp [3 ]. L’une de ces formes, explicitte en termes de matrices de type positif, permet facilement d’offrir la solution complete d’un probleme nouveau, qui est celui de la caracterisation des semi-groupes (de suites) de moments. 1. SEMI-GROUPES DE MOMENTS SUR [O,l] L’idie initiale consiste a remarquer que l’intervalle [0, 1] est stable par l’operation produit p(x, y) = xy, de sorte qu’on peut difinir, sur l’espace M[O, 1] des mesures signtes, un produit de convolution multiplicatif p Cl v = p(u @ u), qui conserve la positivitt des mesures et qui est tel que le nlkrne moment a& Cl v) n’est autre que le produit a,(,~) a,(v) puisque cl,(ll cl v) = (s (St)” d/t(s) dv(t) = j s” d/t(s) * &f t” h(t). On peut traduire cela autrement en disant que si (a,,) et Q?,) sont deux suites de moments, il en est de m2me de la suite produit (a,$,). En particulier les suites puissances (ak,) sont encore des suites de moments pour tout entier k > 0. Par ailleurs une application des critires habituels garantit que si (a:““) est 129 0022-1236/U $3.00 Copyright 0 1983 by Academic Press, Inc. All rights of reproduction in any form reserved.