Synth` ese exacte et efficace du mouvement brownien fractionnaire 1D Emmanuel Perrin 1 , Rachid Harba 1 , Rachid Jennane 1 , Ileana Iribarren 2 1 Laboratoire d’Electronique, Signaux, Image ESPEO - Universit´ e d’Orl´ eans 12, rue de Blois, BP 6745, F45067 ORLEANS cedex 2, France 2 D´ epartement de Math´ ematiques, Universit´ e Centrale du V´ en´ ezuela, Facultad de Ciencias, Esc. de Matem´ aticas Piso 3, Los Chaguaramos, Caracas 1020 - Venezuela Emmanuel.Perrin@univ-orleans.fr, Rachid.Harba@univ-orleans.fr Rachid.Jennane@univ-orleans.fr, ileairi@cantv.net R´ esum´ e– La m´ ethode de la matrice circulante est une m´ ethode de synth` ese exacte de processus gaussiens stationnaires bas´ ee sur la transform´ ee de fourier rapide. Dans ce travail, il est montr´ e qu’elle est efficace pour les bruits gaussiens fractionnaires de param` etre 0 <H< 1, et donc pour le mouvement brownien fractionnaire. Il en r´ esulte un algorithme exact et efficace de synth` ese du mouvement brownien fractionnaire. Cet algorithme a une complexit´ e en O(N log N ) et une occupation m´ emoire en O(N ), alors que ces deux caract´ eristiques sont en O(N 2 ) pour la classique factorisation de de Cholesky. Abstract – The circulant embedding matrix method is used to generate exact realisations of Gaussian and stationnary process. In this work, it is shown that it can be applied to generate effciently 1D fractional Gaussian noises. Thus 1D fractional Brownian motion can be recovered directly by decrementing the generated process. This result leads to an exact and efficient algorithm for generating fractional brownian motion realisations. The computational effort is O(N log N ) and the memory size is O(N ) to get two exact realisations of length N while this two characteristics are of O(N 2 ) for the classical Cholesky factorisation. 1 Introduction De nombreuses m´ ethodes de synth` ese des bruits gaus- siens fractionnaires 1D (bgf) et donc du mouvement brow- nien fractionnaire 1D (mbf) [1] ont ´ et´ e d´ ecrites dans la litt´ erature. Celles-ci se groupent en deux classes princi- pales. D’une part, la d´ ecomposition de Cholesky de la ma- trice de covariance du bgf m` ene ` a des signaux synth´ etis´ es gaussien ayant la mˆ eme covariance que le mod` ele bgf. La m´ ethode est alors qualifi´ ee d’exacte. Cette m´ ethode a un coˆ ut de calcul en O(N 2 ) pour une occupation m´ emoire en O(N 2 ). D’autre part, il existe une gamme de m´ ethodes num´ eriquement plus efficaces, comme par exemple des tech- niques spectrales [2], par ondelettes [3], par mod` eles au- toregressifs [4], ou par d’autres approches plus sp´ ecifiques [5]. Dans tous ces cas, la covariance du signal simul´ e n’est qu’une approximation de la covariance du bgf, mˆ eme si certaines de ces m´ ethodes sont asymptotiquement effi- caces. R´ ecemment, il a ´ et´ e montr´ e qu’une alternative rapide ` a la d´ ecomposition de la matrice de covariance est possible [6, 7]. Cette m´ ethode, dite M´ ethode de la Matrice Circu- lante (MMC), permet de synth´ etiser des r´ ealisations d’un processus gaussien et stationnaire ` a partir de sa fonction d’autocorr´ elation au moyen d’une transform´ ee de Fourier rapide (TFR). Les r´ ealisations seront exactes sous condi- tion que la matrice circulante associ´ ee soit d´ efinie non n´ egative. L’objet de cette communication est de montrer que cette m´ ethode de synth` ese s’applique au mbf, et qu’en plus elle est efficace (rapide et pouvant g´ en´ erer de longues traces). Nous commencerons par d´ ecrire la m´ ethode de la matrice circulante pour comprendre les conditions d’exactitude et d’efficacit´ e de cette m´ ethode. Puis nous montrerons que ces conditions sont remplies par le bruit gaussien frac- tionnaire, ce qui nous permet de d´ ecrire un algorithme de synth` ese exact et efficace du mouvement brownien frac- tionnaire. Des exemples de signaux exacts bgf et mbf de grande taille illustreront ce travail. 2 M´ ethode de la Matrice Circu- lante 2.1 Construction Wood et Chan (1994) [6] et Dietrich et Newsam (1997) [7] ont propos´ e une m´ ethode de synth` ese exacte et rapide de r´ ealisations de taille N d’un processus gaussien sta- tionnaire d´ ecrit par la covariance r[k] k=0,... ,N-1 sur un domaine r´ eguli` erement ´ echantillonn´ e. R est la matrice de