Elem. Math. 69 (2014) 162 – 166 0013-6018/14/030162-5 DOI 10.4171/EM/258 c  Swiss Mathematical Society, 2014 Elemente der Mathematik Aufgaben Neue Aufgaben L¨ osungen sind bis zum 10. Februar 2015 erbeten und k¨ onnen auf postalischem Weg an Dr. Stefan Grieder, Im eisernen Zeit 55, CH–8057 Z¨ urich gesandt werden. L¨ osungen, die in einem g¨ angigen Format abgefasst sind, k¨ onnen als Attachment auch ¨ uber die E-Mail-Adresse stefan.grieder@hispeed.ch einge- reicht werden. Aufgabe 1329: Man bestimme die kleinste positive Zahl K so, dass die Ungleichung  1 (a + b) 2 + 1 (b + c) 2 + 1 (c + a ) 2  (a - bc)(b - ca )(c - ab) ≤ Kabc f¨ ur alle positiven Zahlen a , b, c mit a + b + c = 1g¨ ultig ist. Orif Ibrogimov, Bern, CH Aufgabe 1330: Sei ABC ein Dreieck mit b  = c und D, E auf der Seite BC so, dass AD die Winkelhalbierende von α und BE EC = b c ist. Weiter seien P und Q zwei verschiedene Punkte mit PD = AD, QE = AE und BP  = AB  = BQ. Schliesslich seien BP = p, CP = q , BQ = r und CQ = s . Man zeige dass a) c(r 2 + q 2 ) + b(s 2 + p 2 ) = (b + c)(b 2 + c 2 ) und b) QE > PD. Indika Shameera Amarasinghe, Nawal, CL Aufgabe 1331 (Die einfache dritte Aufgabe): Seien F und G komplexe Matrizen mit F = FGF . Zeige, dass dann rg( F ) = rg(GFG) gilt, wobei rg(.) den Rang einer Matrix bezeichnet. Oskar Maria Baksalary, Pozna´ n, PL und G ¨ otz Trenkler, Dortmund, D