MSPE e Monte Carlo Pricing Method: tecniche di controllo della convergenza nei modelli finanziari Roberto Mosca 1 , Lucia Cassettari 1 , Pier Giuseppe Giribone 2 1 DIPTEM: Dipartimento di Ingegneria della Produzione, Termo-Energetica e Modelli Matematici Universit` a di Genova, Italia 2 BANCA CARIGE - Amministrazione Finanza (Middle Office) - Genova, Italia Email: mosca@diptem.unige.it, lucia@diptem.unige.it, piergiuseppe.giribone@carige.it Abstract—Nella determinazione del prezzo di derivati com- plessi, gli uffici di valorizzazione delle banche e degli istituti finanziari fanno riferimento, per pervenire ad un valore degli stessi, a modelli matematici involventi distribuzioni statistiche di frequenza. Per conseguenza l’utilizzo del metodo Monte Carlo diventa una metodologia imprescindibile per la valorizzazione stocastica del derivato. Resta, tuttavia, per una corretta deter- minazione del valore finale, da stabilire il numero di iterazioni replicate sul modello che consentano di pervenire ad un livello accettabile dell’errore sperimentale che affligge l’output del modello stesso. In questo lavoro gli Autori propongono come soluzione a questo problema l’applicazione della metodologia di studio dell’evoluzione della Mean Square Pure Error nei lanci replicati. Alcune applicazioni a modelli di pricing di derivati non quotati evidenziano da un lato la validit` a della metodologia proposta e dall’altro evitano gli errori che si possono commettere affidandosi a numeri di lanci standard (da 1000 a 10000), come generalmente suggerito dalla letteratura di settore. Parole chiave: Pricing di derivati complessi, simulazione Monte Carlo, errore sperimentale, metodologia MSPE. I. I NTRODUZIONE Un aspetto che ` e troppo spesso ignorato nella applicazione della simulazione Monte Carlo ` e il controllo del cos` ı detto puro errore sperimentale. Tale errore, che affligge il modello ` e generalmente distribuito secondo una (0, 2 ) [3]. Il valore di  2 , che, in accordo con il teorema di Cochran, pu` o essere stimato dal calcolo della quantit` a ,` e una caratteristica intrinseca del modello costruito ed ` e strettamente connessa con la stocasticit` a caratteristica del sistema reale. Durante la fase sperimentale ci ` o che ` e realmente im- portante ` e non aggiungere al rumore che caratterizza intrinsecamente il sistema in esame, un’ulteriore fonte di errore sperimentale, dovuta al numero inadeguato di estrazioni delle distribuzioni di probabilit` a delle variabili di input, in quanto, come ` e risaputo, pi` u grande ` e il campione, migliori sono le inferenze statistiche sulla popolazione [4]. Nei modelli simulativi, dove viene utilizzato il metodo Monte Carlo, l’Errore Sperimentale varia al variare della dimensione del campione ed ` e quindi dipendente dal numero di lanci replicati. Molti ricercatori raccomandano un numero di lanci replicati general- mente compreso tra 1000 e 10000 senza una adeguata conoscenza dell’errore sperimentale connesso, la cui entit` a impatta fortemente sull’output della simulazione [2], [7], [8], [9]. Inoltre si dovrebbe notare che, generalmente, solo il valor medio delle risposte ` e tenuto in considerazione in questo tipo di studi, non valorizzando adeguatamente la varianza, che invece gioca un ruolo decisivo nei sistemi stocastici. Infatti la conoscenza del solo valor medio delle risposte del simulatore pu` o portare ad errori grossolani nella valutazione del fenomeno studiato, come dimostrato in [4], [5], [6]. II. L’ APPROCCIO METODOLOGICO La metodologia proposta consente di approcciare il problema in un modo scientifico, dal momento che permette di calcolare il numero di replicazioni in grado di minimizzare il rumore causato da un’inadeguata sovrapposizione delle funzioni di densit` a di probabilit` a delle variabili d’ingresso estratte impiegando il metodo Monte Carlo, [1]. Per ottenere questo risultato, ` e necessario studiare l’evoluzione nei lanci replicati sia in termini di varianza della distribuzione della media campionaria () sia di varianza della distribuzione dello scarto quadratico medio ( ), [cfr. Appendice]. L’insieme di questi due parametri permette di scegliere il numero di run necessario per ottenere una valutazione non distorta dell’errore sperimentale che affligge la funzione obiettivo. Per gli sperimentatori, il problema non consiste nell’ottenere un teorico  = 0, che, per il teorema del limite centrale, pu` o essere ottenuto con un campione di grandezza infinita, ma piuttosto nel limitare il numero  dei lanci attraverso un accurato controllo dell’evoluzione dell’errore sperimentale in termini di grandezza e stabilizzazione, in modo tale da confinare il suo impatto sul responso degli output del simulatore. In questo modo lo sperimentatore sar` a in grado di scegliere il miglior compromesso tra costo sperimentale e risultati attesi. Inoltre la conoscenza puntuale dei valori di  e  consente di fare importanti inferenze sul comportamento del vero responso sperimentale, che pu` o variare da un valore minimo a un valore massimo, come specificato nella formula seguente:  ∗ ≥  − 3 √  − 3    +   ∗ ≤  +3 √  +3    +  (1) dove   ` e il quadrato di  . Un’altra inferenza statistica riguarda l’intervallo di confidenza sulla media delle risposte che ` e descritta dalla formula seguente: −  2 ,−1    ≤  ≤ +  2 ,−1    (2) dove  ` e il numero di simulazioni condotte in parallelo. In sintesi i passi logici necessari per condurre una corretta campagna sperimentale con il metodo Monte Carlo sono: 1) Costruzione delle due curve  e  in funzione dei lanci replicati, come mostrato nella Fig.1.