PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 130, Number 8, Pages 2197–2202 S 0002-9939(02)06424-9 Article electronically published on January 31, 2002 SUR UNE QUESTION DE CAPITULATION ABDELMALEK AZIZI (Communicated by David E. Rohrlich) Abstract. Let p and q be prime numbers such that p ≡ 1 mod 8,q ≡-1 mod 4 and ( p q )= -1. Let d = pq, k = Q( √ d, i), and let k (1) 2 be the 2-Hilbert class field of k, k (2) 2 the 2-Hilbert class field of k (1) 2 and G 2 the Galois group of k (2) 2 /k. The 2-part C k,2 of the class group of k is of type (2, 2), so k (1) 2 contains three extensions K i /k,i =1, 2, 3. Our goal is to study the problem of capitulation of the 2-classes of k in K i ,i =1, 2, 3, and to determine the structure of G 2 . R´ esum´ e. Soient p et q deux nombres premiers tels que p ≡ 1 mod 8,q ≡ -1 mod 4 et ( p q )= -1, d = pq, i = √ -1, k = Q( √ d, i), k (1) 2 le 2-corps de classes de Hilbert de k, k (2) 2 le 2-corps de classes de Hilbert de k (1) 2 et G 2 le groupe de Galois de k (2) 2 /k. La 2-partie C k,2 du groupe de classes de k est de type (2, 2), par suite k (1) 2 contient trois extensions K i /k,i =1, 2, 3. On s’int´ eresse au probl` eme de capitulation des 2-classes de k dans K i ,i =1, 2, 3, et`ad´ eterminer la structure de G 2 . 1. Introduction Soient k un corps de nombres de degr´ e fini sur Q, F une extension non ramifi´ ee de k et p un nombre premier. L’extension k (1) de k, ab´ elienne maximale et non- ramifi´ ee pour tous les id´ eaux premiers, finis et infinis, est dite corps de classes de Hilbert de k. De mˆ eme l’extension k (1) p de k dont le degr´ e est une puissance de p, ab´ elienne maximale et non-ramifi´ ee pour tous les id´ eaux premiers, finis et infinis, est dite p-corps de classes de Hilbert de k. La recherche des id´ eaux de k qui capitulent dans F (deviennent principaux dans F), a ´ et´ e l’objet d’´ etude d’un grand nombre de math´ ematiciens. En effet, Kronecker ´ etait parmi les premiers `a avoir abord´ e des probl` emes de capitulation dans le cas des corps quadratiques imaginaires. Dans le cas o` u F est ´ egal au corps de classes de Hilbert k (1) de k, D. Hilbert avait conjectur´ e que toutes les classes de k capitulent dans k (1) (th´ eor` eme de l’id´ eal principal). La preuve de ce dernier th´ eor` eme a ´ et´ e r´ eduite par E. Artin ` a un probl` eme de la th´ eorie des groupes, et c’est Ph. Furtw¨ angler qui l’avait achev´ ee. Le th´ eor` eme de l’id´ eal principal a ´ et´ e g´ en´ eralis´ e de la fa¸ con suivante: Soient k 0 un corps de nombres et k/k 0 une Received by the editors February 23, 2001. 2000 Mathematics Subject Classification. Primary 11R37. Key words and phrases. Groupe des unit´ es, syst` eme fondamental d’unit´ es, capitulation, corps de classes de Hilbert. c 2002 American Mathematical Society 2197 License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use