C. R. Acad. Sci. Paris, t. 332, Série I, p. 215–218, 2001 Équations aux dérivées partielles/Partial Differential Equations Sur certains problèmes elliptiques asymétriques avec poids indéfinis Margarita ARIAS a , Juan CAMPOS a , Mabel CUESTA b , Jean-Pierre GOSSEZ c a Departamento de Matemática Aplicada, Universidad de Granada, 18071 Granada, Spain Courriel : marias@goliat.ugr.es, jcampos@goliat.ugr.es b LMPA, Université du Littoral, 50, rue F.-Buisson, B.P. 699, 62228 Calais, France Courriel : cuesta@lmpa.univ-littoral.fr c Département de mathématique, C.P. 214, Université Libre de Bruxelles, 1050 Bruxelles, Belgique Courriel : gossez@ulb.ac.be (Reçu le 11 septembre 2000, accepté le 6 novembre 2000) Résumé. On démontre l’existence d’une première valeur propre non triviale pour le problème (1.2) ci-dessous. Comme application on étudie la solvabilité de (1.1) ci-dessous ainsi que le spectre de Fuˇ cik du p-Laplacien avec poids.  2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS On some asymmetric elliptic problems with indefinite weights Abstract. We prove the existence of a first nontrivial eigenvalue for the problem (1.2) below. As applications we study the solvability of (1.1) below as well as the Fuˇ cik spectrum with weights for the p-Laplacien.  2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS 1. Introduction Ce travail est motivé entre autres par l’étude du problème -∆ p u = f (x,u) dans Ω,u =0 sur ∂ Ω, (1.1) où ∆ p u := div(|∇u| p-2 ∇u), 1 <p< ∞, et où Ω est un domaine borné de R N . Il est bien connu que le comportement asymptotique de f (x,s)/|s| p-2 s et pF (x,s)/|s| p (où F (x,s) :=  s 0 f (x,t)dt) lorsque s → +∞ et s → -∞ joue un rôle important dans l’étude de la solvabilité de (1.1). Habituellement, des conditions ponctuelles sont imposées sur les limites de ces quotients. L’un de nos objectifs dans cette Note est de remplacer ces conditions ponctuelles par des conditions plus générales portant sur certaines valeurs propres ayant ces limites comme poids. Cette approche conduit à étudier préalablement le problème aux valeurs propres asymétrique avec poids -∆ p u = λ  m(x)(u + ) p-1 - n(x)(u - ) p-1  dans Ω,u =0 sur ∂ Ω. (1.2) Note présentée par Jacques-Louis LIONS. S0764-4442(00)01784-5/FLA  2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 215