JOURNAL OF COMBINATORIAL THEORY, Series A 46, 291-305 (1987) Une combinatoire du plhthysme FRANCOIS BERGERON” Dipartement de Mathtmatiques et Informatique, UniversitP du Qutbec k Montrial, C.P. 8888, Succ. A, MontrPal, Canada H3C 3P8 Communicated by G.-C. Rota Received October 20, 1986 1. INTRODUCTION Nous ttudions, dans cet article, une interprt?tation combinatoire de la substitution plkthystique de deux series formelles du type F(x,,x,,...)=~f,,,...~~(xj’x~~~~x~)/(d,! P’d,! ~“2-d,! ny, (1) oti les coefficients f dld2 _. dn sont des entiers, et oti la somme a lieu sur l’en- semble des suites d’entiers dl, d,,..., d, avec n quelconque. Non seulement cette substitution particulikre joue un rcile important en combinatoire, entre autre dans l’&ude des structures g isomorphisme p&s, mais elle inter- vient aussi dans la thkorie de la reprtsentation des groupes, et dans certains problkmes de thkorie des nombres. Rbcemment, 0. Nava et G.-C. Rota [ 111 ont proposk un modkle com- binatoire pour cette substitution en terme d’une thborie du m&me genre que la thkorie des espkces de structures de A. Joyal [S]. Plus prkistment, iIs Claborent la thkorie des espkes partitionnelles, et associent g chacune de ces espkes une sCrie formelle du type (l), & un multiple p&s des coef- ficients. 11s di-finissent alors une opkation combinatoire entre les espkes partitionnelles qui correspond, en passant aux skies formelles assocites, au composi: pl&hystique. Nous allons plutdt &laborer une interprktation combinatoire de la sub- stitution plkthystique, en terme d’espkes sur les permutations. D’abord parce qu’on peut comprendre plus facilement dans ce contexte les par- ticularitts de la substitution pltthystique, mais aussi parce qu’il est possi’ble d’ktablir un lien important entre la substitution des espkces au sens de Joyal (B-espkes), et celle que nous allons introduire (Sespkces). Ce lien prend la forme d’un foncteur entre la cathgorie des B-espbces et celle des * Avec l’appui financier du programme FCAR (Qukbec, EQ 1608). 291 OO97-3165/87 $3.00 Copyright 0 1987 by Academic Press, Inc. All rights of reproduction in any form reserved.