EJERCICIOS PROPUESTOS (MATEMATICA III) 1. Complete la siguiente tabla aplicando la relación entre las coordenadas rectangulares, esféricas y cilíndricas: Coordenadas cartesianas Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas (4,4π/3,-8) (4,π/3,3π/4) (−√ 2 , √ 2 , 2 √ 3 ) 2. Exprese cada ecuación según se requiera: a) x 2 + y 2 + 4 z 2 =10 en coordenadas cilíndricas. b) x 2 + 2 y 2 −4 z 2 =0 en coordenadas esféricas c) y 2 +2 z 2 = 4 en coordenadas esféricas 3. Encuentre las ecuaciones simétricas de la recta tangente a la curva determinada por: f ( t ) =( t, 1 2 t 2 , 1 2 t 3 ) 4. Encuentre las distancias entre las rectas cruzadas. l 1 { x =1 +2 t y =−3 + 4 t z =−1−t yl 2 { x = 4− 2 t y =1 +3 t z =2 t 5. Suponga que los planos perpendiculares x + y - 2z = 2 ; 2x + z=5 dividen a un cubo de volumen 64 u 3 en 4 paralelepípedos. Si el centro de cubo se encuentra en el punto (2,2,1), determinar las ecuaciones de los planos en donde se encuentran las caras del cubo. 6. Determinar el punto donde la recta en R 4 X 1 −3 10 = X 2 −1 10 = X 3 − 2 −1 = X 4 −5 −1 Interseca al plano: X 1 +3 X 2 + 5 X 3 −2 X 4 =80 7. Los términos independientes de las ecuaciones de dos planos paralelos p 1 yp 2 son ψ y λ respecvamente. Demuestre que la distancia entre dichos planos está dado por: d ( p 1 ,p 2 ) = | ψ − λ | | ∝| Donde ∝ es el vector normal para ambos planos. 8. Determinar bajo qué dirección debe ser lanzada reclíneamente una parcula desde el punto A(2,2,3) hacia la recta L={(0;1+r;-r) / ϒ Є R } para que la alcance al cabo de 2 segundos, siendo si velocidad ‖ v‖ = v =√ 3 u / s 9. Un rayo de luz parte del punto (1,4,2), se refleja en el espejo plano YZ, este rayo reflejado pasa por (5,1,4). Hallar la ecuación de este úlmo reyo reflejado. 10. Si la base de un tetraedro es un triángulo cuyos vérces son: A(1,-2,1),