C. R. Acad. Sci. Paris, t. 329, Skrie I, p. 979-984, 1999 Analyse fonctionnelle/Functional Analysis Generalized sums of monotone operators , Julian P. REVALSKI a, Michel THERA b a Institute of Mathematics and Informatics, Bulgarian Academy of Sciences, Acad. G. Bonchev Street, block 8, 1113 Sofia, Bulgaria E-mail: revalski@math.bas.bg ” LACO UPRESSA 6090, Universitt de Limoges, 87060 Limoges cedex, France 3 E-mail: michel.thera@unilim.fr (Regu le 7 juin 1999, accept6 le 4 octobre 1999) Abstract. This Note has two general aims: first to show that the notion of variational sum of maximal monotone operators, introduced by Attouch, Baillon and ThCra in [I] in the setting of Hilbert spaces, can be extended to the case of reflexive Banach spaces, keeping all of its properties. And second, to compare it with the usual pointwise sum and with the notion of extended sum proposed in our paper [8]. 0 1999 Academic des science&ditions scientifiques et medicales Elsevier SAS Sommes &n&alis4Ges d’op&ateurs monotones R&urn& Le but de cette Note est double. Now montrons d’abord que la notion de somme variationnelle introduite par Attouch, Baillon et The’ra darts le contexte des espaces de Hilbert s ‘&end aux espaces de Banach rejexifs, tout en conservant toutes ses proprietes, Ensuite, nous comparons les differentes notions de somme : ponctuelle, variationnelle et &endue (voir la dejinition donne’e par Revalski et The’ra, [S]). Les preuves des resultats &once% se trouvent dans [8], [9]. 0 1999 Academic des sciences&ditions scientifiques et medicales Elsevier SAS Version frarqaise abrkgke Soient (X, )I . 11)un espace de Banach reflexif et (X”, 11 . 11)son dual topologique. On peut toujours supposerque les normes sur X et X* sont strictement convexes et verifient la propriete de Kadec-Klee : si 5, ---f z faiblement dans X et si lIznIl -+ (Izl1, alors z,, 4 z dans la norme (idem pour la norme duale). Le symbole ( . , .) designera le crochet de dualite entre X et X*. Pour un operateur (multivoque) A : X S X*, on notera Gr(A) := { (2, CC*) E X x X* : CC* E AZ} le graphe de A et Dam(A) := {z E X : Az # 0} son domaine. L’operateur A-l : X” =t X, defini par A-lx* := {ZIZ E X : z* E AZ}, CJJ* E X*, est l’inverse de A. A est appele monotone s’il verifie (y-z, y* -z*) 2 0 pour tout (CC, z*), (y, y*) E Gr(A). On d&nit l’operateur 2 en posant 2~ := AZ, Note prCsentCe par Philippe G. CIARLET. 076M442/99/03290979 0 1999 AcadCmie des scienceskditions scientifiques et mtdicales Elsevier SAS. Tous droits rtservb. 979