Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 38, 1 - 5 4 (1977) Zeitschrift fiir Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandteGebiete 9 by Springer-Verlag 1977 M61anges d'6quations diff rentielles et grands 6carts fi la loi des grands nombres R. Azencott et G. Ruget Universit6 Paris VII, 2 Place Jussieu, U.E.R. de Math6matiques, F-75005 Paris V, France et IRIA, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, BP 5, 78150, Le Chesnay, France Introduction On 6tudie ici le comportement, sur un temps tr6s long, d'un mobile soumis alternativement /t plusieurs 6quations diffdrentielles, les choix successifs 6rant par exemple espac6s d'un laps de temps z fixe petit, et ayant lieu ind6pendamment les uns des autres en respectant des statistiques connues. L'origine de ce travail 6tait la recherche de prdvisions sur le comportement lent d'un syst6me nerveux /t synapses 6volutives (cf. les 6tats LSD de rl], interpol6s de fagon continue comme dans [7]), ou encore l'6tude de l'6volution m6me de l'6tat des synapses d'un seul neurone ~t partir de celle des r6cepteurs de l'acdtylcholine. A une toute autre 6chelle explicative, mais encore dans la thdorie de l'apprentissage, on trouve un mod61e math6matique voisin dans [8], et avec d'autres motivations, dans le <<processus de transport>> [-9], ou dans des 6tudes fines d'algorithmes de gradient stochastique [6]. L'originalit6 de notre travail est qu'on ne peut s'y contenter de l'approximation par une 6quation diff6rentielle moyenne, ni d'une approximation par une diffusion, les ph6nom6nes intdressants sur une longue 6chelle de temps,/~ savoir, les sauts d'un bassin/t un autre du <<champ de vecteurs moyen>>, manifestant de grands 6carts par rapport g la loi des grands hombres. Tr6s rapidement, nous avons eu connaissance de [14], qui 6tudie un ph6nom6ne analogue dans le cas des petites diffusions, et dont nous avons respect6 la m6thode d'attaque. L'autre ingr6dient important est la th6orie des grands 6carts, dont on trouvera 6tabli ce qui nous en est ndcessaire au w1, et qui a dfi atre red6couverte plusieurs lois, mais dont la premi6re manifestation semble ~tre [3]. Dans des cas simples, on pourrait se contenter des r6sultats existants, par exemple [10], mais, pour traiter le probl6me suffisamment significatif indiqu6 ci-apr6s, nous avons eu besoin de r6sultats de robustesse qui nous semblent nouveaux. Pour en revenir /t la formalisation du processus, on voit que les donn6es pourraient atre une mesure de probabilit6 # sur un compact dans l'ensemble des champs de vecteurs C' sur une vari6t6 M, et un temps petit z. En fait, cette donnde ne peut qu'atre inaccessible ~ l'exp6rience, et on dolt pouvoir se contenter