Inventiones math. 8, 267-312 (1969) Apropos des cycles analytiques de dimension infinie GABRIEL RUGET (Montrouge) Table des mati~res Premiere partie: Cycles analytiques de dimension infinie . . . . . . . . . . . . 268 1. La codimension topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 2. Cycles analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 3. Multiplicit6s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 4. Un th6or6me d'image directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 5. Une formule de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Deuxi~me partie: L'espace des op6rateurs ~ indice . . . . . . . . . . . . . . . 294 Troisi6me partie: Un autre th6or6me d'image directe . . . . . . . . . . . . . . 306 Introduction L'origine de ce travail est la question suivante, que nous avait sugg6r6e l'~tude des families d'op6rateurs elliptiques sur une vari6t6 compacte: depuis un beau th6or6me de Kuiper, on salt que l'ensemble t~ des op6rateurs/~ indice d'un espace de Hilbert complexe de dimension infinie, muni de la topologie de la norme, est un classifiant pour le groupe unitaire infini; on connait done bien son anneau de cohomologie enti&e, mais peut-on donner une interpr6tation g6om6trique simple de chaque classe de cohomologie? I1 nous semblait que toute classe de degr6 2n pourrait ~tre << repr6sent6e >> par un sous-ensemble analytique complexe de t~, de codimension n. Il fallait d'abord expliquer ce qu'est la classe de cohomologie enti6re associ6e ~ un sous-ensemble analytique complexe d'une vari6t6 banachique. Les sous-ensembles que nous avions en vue 6talent un peu sp6ciaux (<<jolis >)), mais, puisque J. P. Ramis avail 6tudi6 les sous-ensembles analytiques g6n6raux de codimension finie, nous avons voulu 6crire nos pr61iminaires dans le m~me cadre, ce qui nous a conduit ~ introduire la notion de codimension topologique (w 1.1). Nous d6finissons ensuite ce qu'est la classe associ6e ~t un sous- ensemble analytique complexe (plus g6n6ralement ~ une ~sous-vari6t6 entrouverte))), et nous disons un mot du cas r6el:/t un joli sous-ensemble analytique r6el, on peut associer une classe modulo 2. Puis, revenant d6finitivement au cas complexe, nous envisageons, avec plus de d6tails que n'en exige notre probl6me initial, les intersections et images r6ci- proques de sous-ensembles analytiques, d6finissant des multiplicit6s et t9 Inventiones math., Vol. 8