Journal of Lie Theory Volume 14 (2004) 501–508 c  2004 Heldermann Verlag Une courte d´ emonstration de la formule de Campbell-Hausdorff Loring W. Tu Communicated by J. Faraut Abstract. We give a simple proof of an algorithm for computing the terms of the Campbell-Hausdorff formula. 2000 AMS Subject Classification: Primary: 22E15; Secondary: 22E60 Soient G un groupe de Lie et g = T 1 G son alg` ebre de Lie, vue comme l’espace tangent`a G en l’´ el´ ement neutre 1. Alors il existe un voisinage V de 0 dans g et un voisinage U de 1 dans G tels que la restriction de l’application exponentielle exp : V → U est un diff´ eomorphisme. Son inverse U → V s’appelle le logarithme et s’´ ecrit log . Si deux ´ el´ ements A et B de g sont suffisamment proches de l’origine, alors la formule de Campbell-Hausdorff donne l’expression de log(exp A exp B) en tant que s´ erie enti` ere dans l’alg` ebre de Lie engendr´ ee par A et B : exp A exp B = exp  A + B + 1 2 [A, B]+ 1 12 ([A, [A, B]] + [B, [B,A]]) + ···  . (1) Dans cette note nous donnons une d´ emonstration simple d’un algorithme pour calculer les termes de la s´ erie (1). Cet algorithme est ´ equivalent `a celui de Hausdorff ([8], Eq. (25), p. 29), qui consid` ere le probl` eme d’un point de vue symbolique. 1. Des s´ eries enti` eres formelles Nous ´ ecrivons exp X pour l’application exponentielle d’un groupe de Lie et e y pour la s´ erie enti` ere formelle e y =1+ y + 1 2! y 2 + 1 3! y 3 + ··· . La s´ erie de Todd et son inverse sont les s´ eries enti` eres formelles td(y)= y 1 − e −y =1+ y 2 + y 2 12 − y 4 720 + y 6 30240 − y 8 1209600 + y 10 47900160 + ··· , td −1 (y)= 1 − e −y y =1 − 1 2! y + 1 3! y 2 −··· . ISSN 0949–5932 / $2.50 c  Heldermann Verlag