GORENFLO, I:~UD OLF Math. Annalen 146, 226--231 (1962) t ber ganze transzendente Funktionen von regelm[ifligem Wachstum Von RUDOLF GORENFL0 in Karlsruhe oo O. Die Funktion g(z) = ~ a¢z¢ sei ganz transzendent und von regelm@igem j=0 Wachstum in dem Sinne, daft zwei Zahlen Q, B, 0 < Q < oo , 0 < B < c¢, existieren, mit welchen logM(r) .-. Bre bei r ool). Hier und im folgenden sei max Ig(z)l Izl = r = M(r) gesetzt, v = v(r) bezeichne denZentralindex, re(r) = [a~l r ~ das Maximal- oo glied der Potenzreihe ~ ajzJ, und es sei Mn(r) = max Ig(~)(z)[. 0 l~l = r In einer frfiheren Arbeit 2) hat Verfasser folgende Vermutung ausgesprochen: Ist o~ eine beliebige Konstante mit 0 < ~ < 1, und liegt z so au/ IzI---r, daft ig(z)] > ~ M(r), so gilt bei r ~ c¢ (o) gc,o(z) = (1 + g(z) , n(z) > o, /iir n -- 1, 2, 3, .... (x) oG Tats/ichlich gilt (0) beispielsweise fiirg (z) - ~ c¢] -~j zJ und g(z) = ~ c~(~ !)-~ zJ, j=l j=0 0 < ~ < c¢, lc~[ = c > 0 fiir alle hinreiehend groi~en j3). Ffir die erste dieser Funktionen ist ~ = 1/~, B = ~/e, fiir die zweite Q = 1/~, B = ~. Ffir eine be- liebige ganze transzendente Funktion gilt (0) aul]erhalb einer Ausnahmemenge 9.1 endlichen logarithmischen MaBes'), und die Vermutung besagt gerade, da$ 9i leer ist, wenn g yon regelm/~Bigem Wachstum ist. 1. Verfasser ist es nicht gelungen, (0) ohne weitere Zusatzvoraussetzung zu beweisen. Inhalt dieser Arbeit ist der Beweis folgender S/~tze. Satz 1. Es sei 0 < a g 1, und z liege so au] [z] = r, daft ]g(z)l => ~M(r). Dann gibt es eine durch die Funktion g bestimmte Folge k(v) = o(v) derart, daft bei r ~ v+k (cz) ,~ a¢z i ,-., g(z) j=v ....... k /iir k ~ k(v). 1) VALIRO~ nennt in [4], S. 44f., solche Funktionen "functions of perfectly regular growth". ~) [2], S. 86. 3) Man vgl. [2], S. 36 und S. 45. ') Man vgl. etwa [5], S. 4ft., speziell dort S. 9 Formel (8).