K-Theory 5: 71-96, 1991. 71 9 199i Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands. Classes caract6ristiques d'une II-alg6bre et suite spectrale en K-th6orie bivariante ETIENNE FIEUX Mathdmatiques, Universit~ Louis" Pasteur, 7 rue RenO Descartes, F-67084 Strasbourg Cedex, France (Received: February 1991) R6sum& Pour tout groupe discret 11 et pour toute II-alg6bre D, la C*-alg~bre D(EII) n (dont la d6finition exacte est donn6e dans la section 4) est la version 6quivariante de Ia C*-alg~bre C(BH, D) des fonctions continues sur BY[, le classifiant du groupe, ~ valeurs dans D et qui s'annulent fi l'infini. Si D' d~signe une autre II-alg6bre, nous d~finissons une suite spectrale en K-th6orie bivariante dont les premiers termes sont donn6s par les groupes H p (BY[, KK(D, D')) et qui converge (lorsque BH est de dimension finie) vers ~KK(BH; D(EII) n, D'(EH)n). Cette suite spectrale g~n6ralise celle de Kasparov mais est obtenue de mani6re diff~rente: en ~tendant la d6finition des quasihomomorphismes aux C(X)-alg6bres (X est une espace topologique localement compact), on a recours ~i des m~thodes homotopiques telles les d6compositions de Postnikov et te calcul des groupes d'homotopie des espaces d'6quivalences d'homotopie. Sous certaines hypothfises, ces m~mes constructions nous permettent de d6finir, pour toute H-alg6bre D, une obstruction, appel6e classe secondaire de la H-alg6bre D, qui d6termine la diff6rentielle d2 de la suite spectrale de Kasparov. Abstract. For all discrete group H and all If-algebra D, the C*-algebra D(EII) n (whose exact definition is given in Section 4) is the equivariant version of the C*-algebra C(BH, D) of continuous functions from BH (the classifiant of the group) to D, vanishing at infinity. If D' is another H-algebra, we define a spectral sequence in bivariant K-theory whose first terms are given by the groups H p (BII, KK(D, D')) and which converges (if BII of finite dimension) to NKK(BHI; D(EYI) n, D'(EII)n). This spectral sequence generalises the spectral sequence given by Kasparov but it is obtained in a quite different way: by extending the definition of quasihomomorphisms to the C(X)-algebras (where X is a locally compact topological space), we use homotopical methods, like Postnikov decompositions and the calculus of homotopy groups of spaces of homotopy equivalences. Furthermore, under certain hypotheses, with these constructions, we define an obstruction, called the secondary class of the H-algebra D, which determines the differential d 2 of the Kasparov spectral sequence. O. Introduction Les r6sultats de Pimsner et Voiculescu [20, 2t], qui permettent de calculer la K-th6orie d'un produit crois6 d'une C*-alg6bre par un groupe libre, trouvent une g6n6ralisation dans la suite spectrale construite par Kasparov [ 12, 13]. Si FI est un groupe discret tel que son espace classifiant BH soit localement compact et tel que EH, le rev~tement universel de BYI, soit une II-vari6t6 sp6ciale, cette suite spectrale converge vers la 7-partie de la K-th6orie de C*(II, D), pour route H-alg6bre D. Une suite spectrale similaire converge vers la 7-partie de la K-homologie de C*(II, D). Pour II un groupe discret et Dune II-alg6bre, on 6tudie ici D(EII) n, l'alg6bre des sections au-dessus de BII (ou C(BII)-alg6bre, selon [13]) et on montre, en d6signant par D' une autre H-alg6bre, l'existence d'une suite spectrale de la forme