18 ème Congrès Français de Mécanique Grenoble, 27-31 août 2007 Optimum Control of Cavity Flow Rasika Fernando 2 , Denis Sipp 1 , Anton Lebedev 1 & Laurent Jacquin 1 1 : Office National d’Etudes et de Recherches Aérospatiales Département d’Aérodynamique Fondamentale et Expérimentale 8, Rue des Vertugadins 92190 MEUDON sipp@onera.fr 2 : Institut Jean le Rond d’Alembert UMR CNRS 7190 Université Pierre et Marie Curie 4, Place Jussieu 75252 PARIS fernando@lmm.jussieu.fr Abstract : For high Reynolds numbers Re = U ∞ L/ν , with an order of magnitude of a few thousands, a flow over a square cavity becomes unsteady with the growth of two-dimensional instabilities. This phenomenon is studied by com- puting : 1/ the branch of steady solutions with respects to the Reynolds number, using a branch tracking method ; 2/ the eigenvalues and eigenvectors of the global linearized operator with respects to Re. We thus show that the cavity is subject to a Hopf bifurcation at a critical Reynolds number denoted by Re c . After setting the computations in a supercritical case for which Re > Re c , we use an optimum control algorithm to minimize the energy of the perturbations at various terminal times T . The control will consist in unsteady blowing and succion on the cavity wall. We will analyze the phenomenology of the control law with a description of the influence of the target time T and the cost of the control which will be denoted by m. Résumé : Lorsque le nombre de Reynolds Re = U L/ν est suffisamment élevé, de l’ordre de quelques milliers, l’écoulement affleurant une cavité de rapport d’aspect L/D =1 devient instationnaire bidimensionnel. Ce phénomène est étudié en recherchant : 1/ la branche de solutions stationnaires en fonction du nombre de Reynolds à l’aide d’une méthode de suivi de branche ; 2/ les valeurs et modes propres de l’opérateur linéarisé global en fonction de Re. On montre ainsi que la cavité subit une bifurcation de Hopf à un certain nombre de Reynolds critique Re c . Puis, en se plaçant dans un cas supercritique Re > Re c , on met en oeuvre le formalisme du contrôle optimal pour minimiser l’énergie des perturbations instables à un temps horizon T variable. Le moyen de contrôle choisi est constitué de soufflages / aspirations instationnaires le long de la paroi de la cavité. On finira par une analyse physique de la loi de contrôle obtenue en décrivant l’importance du paramètre m du coût du contrôle. Key-words : cavity flow ; global instability ; optimum control 1 Introduction The interaction of a fluid with a mechanical structure can be fatal, under certain flow regimes, to the integrity of the latter. In order to keep a structure from buffeting, it is thus essential to control the interacting flow. In the case of a driven cavity flow, the buffeting was first explained by Rossiter (1964) as the effect of a feedback loop where self-sustained oscillations are due to the emission of acoustic waves from the leading edge of the cavity. A better understanding of the phenomena had been brought later on by Bilanin et al. (1973), when a greater importance was given to the role 1