C. R. Acad. Sci. Paris, t. 332, Série I, p. 509–514, 2001 Équations aux dérivées partielles/Partial Differential Equations (Problèmes mathématiques de la mécanique/Mathematical Problems in Mechanics) Cascade of energy in turbulent flows Ciprian FOIAS a , Oscar P. MANLEY b , Ricardo M.S. ROSA c , Roger TEMAM d a Department of Mathematics, Indiana University, Bloomington, IN 47405, USA b Gaithersburg, MD, USA c Departamento de Matemática Aplicada, Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Caixa Postal 68530 Ilha do Fundão, Rio de Janeiro RJ 21945-970, Brazil d Laboratoire d’analyse numérique, Université de Paris-Sud, Orsay, France E-mail: foias@indiana.edu; omanley@indiana.edu; rrosa@labma.ufrj.br; roger.temam@math.u-psud.fr (Reçu le 1 er décembre 2000, accepté le 12 décembre 2000) Abstract. A starting point for the conventional theory of turbulence [12–14] is the notion that, on average, kinetic energy is transferred from low wave number modes to high wave number modes [19]. Such a transfer of energy occurs in a spectral range beyond that of injection of energy, and it underlies the so-called cascade of energy, a fundamental mechanism used to explain the Kolmogorov spectrum in three-dimensional turbulent flows. The aim of this Note is to prove this transfer of energy to higher modes in a mathematically rigorous manner, by working directly with the Navier–Stokes equations and stationary statistical solutions obtained through time averages. To the best of our knowledge, this result has not been proved previously; however, some discussions and partly intuitive proofs appear in the literature. See, e.g., [1,2,10,11,16,17,21], and [22]. It is noteworthy that a mathematical framework can be devised where this result can be completely proved, despite the well- known limitations of the mathematical theory of the three-dimensional Navier–Stokes equations. A similar result concerning the transfer of energy is valid in space dimension two. Here, however, due to vorticity constraints not present in the three-dimensional case, such energy transfer is accompanied by a similar transfer of enstrophy to higher modes. Moreover, at low wave numbers, in the spectral region below that of injection of energy, an inverse (from high to low modes) transfer of energy (as well as enstrophy) takes place. These results are directly related to the mechanisms of direct enstrophy cascade and inverse energy cascade which occur, respectively, in a certain spectral range above and below that of injection of energy [1,15]. In a forthcoming article [9] we will discuss conditions for the actual existence of the inertial range in dimension three.  2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Sur les cascades d’énergie en écoulements turbulents Résumé. Un des points de départ de la théorie conventionnelle de la turbulence [12–14] est l’idée que, en moyenne, l’énergie est transférée des basses fréquences vers les hautes fréquences [19]. L’objet de cette Note est de donner une preuve rigoureuse de ce résultat en dimension d’espace trois, en utilisant les équations de Navier–Stokes et les concepts de solution statistique stationnaire. À notre connaissance aucune preuve complète de ce résultat n’avait été donnée auparavant ; toutefois, des discussions partiellement intuitives apparaissent dans les références mentionées dans la littérature. Voir, e.g. [1,2,10,11,16,17,21], et [22]. Il est intéressant de noter que la preuve est complète malgré les limitations bien connues de la théorie mathématique des équations de Navier–Stokes en dimension trois. Un résultat similaire est valable en dimension deux, en ce qui concerne le transfert d’énergie. En Note présentée par Jacques-Louis LIONS. S0764-4442(01)01831-6/FLA  2001 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés 509