Đường tròn Apollonius Nguyễn Văn Linh Năm 2014 1 Giới thiệu Apollonius là một nhà hình học người Hy Lạp lỗi lạc, người khai sinh ra các tên gọi ellipse, hyperbola, parabola mà chúng ta vẫn sử dụng ngày nay. Tên tuổi của ông gắn liền với một số bài toán nổi tiếng, đặc biệt là bài toán về đường tròn Apollonius được phát biểu như sau: Cho hai điểm A, B. Tập hợp các điểm P sao cho tỉ số PA PB = k không đổi (k> 0) là một đường tròn, được gọi là đường tròn Apollonius của đoạn thẳng AB ứng với tỉ số k. C D A B P Chứng minh. Gọi C, D là hai điểm nằm trong và ngoài đoạn thẳng AB sao cho CA CB = DA DB = k. Khi đó PA PB = CA CB = DA DB nên C, D lần lượt là chân đường phân giác trong và ngoài của góc AP B. Suy ra ∠CPD = 90 ◦ . Vậy P nằm trên đường tròn đường kính CD. Ngược lại giả sử P là điểm bất kì nằm trên đường tròn đường kính CD. Khi đó ∠CPD = 90 ◦ . Mà (ABCD)= −1 nên theo tính chất hàng phân giác, suy ra C, D lần lượt là chân đường phân giác trong và ngoài của góc AP B. Từ đó PA PB = k. Như vậy tập hợp các điểm P là đường tròn đường kính CD. Chú ý rằng khi k =1, đường tròn Apollonius suy biến thành đường trung trực của đoạn thẳng AB. Từ định nghĩa đường tròn Apollonius của đoạn thẳng chúng ta xây dựng đường tròn Apollonius của một tam giác như sau. Đường tròn Apollonius của tam giác ABC ứng với đỉnh A là đường tròn có đường kính là đoạn thẳng nối hai chân đường phân giác trong và ngoài góc BAC . Như vậy trong một tam giác, có ba đường tròn Apollonius ứng với ba đỉnh của tam giác. Rõ ràng các đỉnh của tam giác đều nằm trên đường tròn Apollonius tương ứng. Sau đây chúng ta tìm hiểu một số tính chất của các đường tròn này. 1