Analyse de l’Admittance de Discontinuité dans une Ligne Coaxiale Chargée par un Diélectrique par la Méthode des Différences Finies A. Abbou, R. Fersiti, N. Benahmed & M.Feham Université Abou Bekr Belkaid, Institut d’Electronique, B.P.119, Tlemcen Résumé Dans cet article, nous présentons une solution numérique aux discontinuités dans la ligne coaxiale chargée par un diélectrique. Cette solution repose sur une résolution numérique de l’équation de Laplace par la méthode des différences finies. Dans ce cadre, nous proposons un logiciel écrit en Fortran 77. Mots clés Discontinuité, Ligne coaxiale, Capacité, Conductance, MDF. I. Introduction Dans le domaine des hyperfréquences , il existe de nombreuses méthode pour mesurer la constante diélectrique des matériaux [1], [2], [3]. Cependant, il n’existe pas de méthodes générales utilisables dans tous les cas quelles que soient la fréquence, la forme et les dimensions des matériaux. Pour cette raison, l’application de chaque méthode est limitée par des conditions particulières. Parmi ces méthodes, on peut citer les suivantes: • Méthode de la terminaison court-circuitée (méthode de Von Hippel) [3] Cette méthode nécessitant des abaques, fournit plusieurs solutions par suite de la détermination multiple de la tangente hyperbolique (équation transcendante) qui est présente dans l’équation fondamentale de la méthode. • Méthode de Milanovic [4] C’est une méthode approximative pour mesurer les constantes diélectriques des matériaux dont les pertes sont faibles et où l’épaisseur des échantillons est beaucoup plus petite que la longueur d’onde utilisée. Elle nécessite également des abaques qui donnent la solution de l’équation transcendante complexe liée à cette méthode, dans des cas particuliers. Dans toutes ces méthodes, les mesures sont destructives et mettent en jeu de nombreuses contraintes. Pour s’affranchir de cela I. Idriss [5] a jugé très utile de développer une méthode, non déstructure, cette fois, automatique et couvrant une très large gamme de fréquence. Cette méthode qui constitue l’essentiel de ses travaux, a pour base l’exploitation des effets introduits par les discontinuités dans les lignes coaxiales. Notre contribution dans ce travail est la réalisation d’un logiciel par les différences finies permettant l’évaluation de l’admittance de discontinuité entre une ligne coaxiale et un milieu diélectrique pour une éventuelle application de la méthode de I. Idriss. II. Formulation du problème de discontinuité et résolution Soit une ligne coaxiale terminée par un diélectrique. Fig.1 Ligne Coaxiale Terminée par un Diélectrique. Ce problème se ramène à résoudre l’équation de laplace avec des conditions aux limites particulières. Ceci est bien connu en mathématique appliquées et de nombreuses études ont été effectuées sur ce sujet [6], [7], [8]. Puisque, pour la ligne coaxiale, le système est de révolution, un système de coordonnées cylindriques sera choisi. Dans ce dernier, l’équation de laplace s’écrit: ∆ V r z V r r V r r V V z (, , ) ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ϕ ∂ ∂ = + + + = 2 2 2 2 2 2 2 1 1 0 (1) la symétrie du problème réduit l’équation de laplace (Oz est l’axe de symétrie) à: ∆ V rz V r r V r V z (, ) = + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 2 2 2 2 1 0 (2) Pour résoudre cette équation, on utilisera une méthode itérative à relaxation. Pour ce faire, on désertifies le domaine d’étude en un réseau dont les mailles auront leurs côtés parallèles aux axes Oz et Or. Comme le système est symétrique, on ne traitera que la moitié du problème (demi plan supérieur de la discrétisation); la première ligne sera Oz. Fig.2 Réseau des Différences Finies. h est la dimension de chaque maille suivant l’axe Oz et aussi suivant l’axe Or(maille carré). ε r1 ε r2 Milieu diélectrique Région 2 Région 1 z r i h j