SUR LES VALEURS PROPRES D'UN OSCILLATEUR HARMONIQUE PERTURBI~ Par ANNE BOUTET DE MONVEL-BERTHIER , LOUIS BOUTET DE MONVEL ET GILLES LEBEAU Dedicated to Professor Shmuel Agmon Si H = H0 + Vest une perturbation d'un oscillateur harmoaique 11o, on montre, sous des hypotheses assez faibles sur le potentiel V, que les noyaux des oprrateurs d'rvolution e 'tH, e 't"~ ont mSme microsupport (en un sens qui sera prrcisr). En particulier les points singuliers de Tr e itH, considrr6 comme distribution de t, sont les prriodes des trajectoires prriodiques de l'hamiltonien de H0. L'idre d'une drmonstration est d'adapter la drmonstration maintenant classique pour une perturbation d'un oprrateur pseudo-diffrrentiel d'ordre 1 comme par exemple exp it(x/L-~ + V) oO l'erreur V est un oprrateur pseudo-diffrrentiel d'ordre < 0. Mais ici les mrthodes asymptotiques initires par Chazarain [16], qui prolongent le calcul symbolique "standard" des oprrateurs pseudiffrrentiels ou intrgraux de Fourier (mrthodes WKB), ne marchent pas et on voit tr~s vite qu'on ne peut en aucun cas se limiter au calcul symbolique "classique". Pour contoumer cette difficult6 nous proposons deux mrthodes, techniquement assez diffrrentes, mais dont nous pensons qu'elles ont chacune son intrr~t propre. La premibre s'inspire d'idres de R. Beals et exploite le fait que des inrgalitrs L2 qu'impliquent l'rquation d'rvolution pour les crochets successifs du "drfaut" e-itHoe itH avec les oprrateurs "classiques" produisent une forme de calcul symbol- ique suffisante pour majorer l'ensemble des singularitrs. La deuxi~me est inspirre des mrthodes semi classiques, le rrle du "petit paramrtre" 6tant jou6 par un rapport d'homothrtie. Ce probl~me nous a 6t6 suggrr6 par une 6tude faite avec S. Albeverio. Des problrmes similaires ont 6t6 6tudirs par S. Zelditch, A. Weinstein et S. Zelditch, D. Robert et nous remercions le referee de nous avoir signal6 leur travail. Nous remercions enfin chaleureusement le referee pour la liste drtaillre et prrcise de corrections et suggestions qu'il nous a foumie, qui a certinement contribu6 ~t amrliorer cet article. Nous drdions cet article h notre cher ami et maitre S. Agmon. 39 JOURNALD'ANALYSE MATHISMAT[QUE,Vol. 58 (1992)