KETAKSAMAAN HARNACK DALAM KONTEKS GRAF 1 Institut Teknologi Bandung, rika.febrilia@students.itb.ac.id 2 Institut Teknologi Bandung, sapto@math.itb.ac.id Abstrak Pada penelitian ini kami tampilkan suatu pendekatan baru dalam pembuktikan ketak- samaan Harnack dalam konteks graf, max B u ≤ C min B u, dimana B suatu definisi bola dalam konteks graf, C adalah konstanta dan u adalah solusi Lu(x)=0 dimana Lu(x) :=  y∼x a xy (u(x) − u(y)) . Di sini ketaksamaan Harnack dibuktikan dengan menggunakan pendekatan probabilitas yang didasarkan pada critical density property dan doubling property . Dengan pendekatan baru ini ketaksamaan Harnack kini dapat diperoleh tanpa menggunakan Sobolev’s inequal- ity dan covering lemmas. Kata Kunci: ketaksamaan Harnack, graf, critical density property , doubling property 1. Pendahuluan Pembuktian ketaksamaan Harnack pada umumnya didasarkan pada pendekatan iteratif Moser [2]. Ketaksamaan Harnack dalam konteks graf pertama kali diperkenalkan oleh T. Delmotte [4] dengan menggunakan Vitali’s covering lemmas, ketaksamaan John-Nirenberg’s dan ketaksamaan Sobolev’s. Penelitian lain yang dilakukan oleh G. Di Fazio dan teman- teman [1] menggunakan pendekatan probabilitas critical density property dan double ball property dengan menggunakan covering lemmas . Dalam penelitian ini, digunakan suatu pendekatan baru untuk membuktikan ketaksamaan Harnack, yaitu dengan menggunakan critical density property dan doubling property . 2. Formulasi Model Didefinisikan operator Lu (x)=  x∼y a xy (u (x) − u (y)), (1) KNM XVI 3-6 Juli 2012 UNPAD, Jatinangor ISBN : 978-602-19590-2-2 793 BAIQ RIKA AYU FEBRILIA 1 GDQ SAPTO WAHYU INDRATNO 2