TRANSACTIONS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 356, Number 6, Pages 2139–2147 S 0002-9947(04)03159-9 Article electronically published on February 2, 2004 SUR LES TRANSFORM ´ EES DE RIESZ DANS LE CAS DU LAPLACIEN AVEC DRIFT NO ¨ EL LOHOU ´ E AND SAMI MUSTAPHA Abstract. We prove L p estimates for Riesz transforms with drift. I. Introduction La bornitude des transform´ ees de Riesz ∂ ∂xj Δ −1/2 ,1 ≤ j ≤ n, sur les espaces L p , 1 <p< ∞, dans R n a´ et´ e´ etendue, grˆ ace`a la th´ eorie des int´ egrales singuli` eres dans les espaces de type homog` ene (cf. [4]) ` a d’autres contextes o` u le volume des boules croˆ ıt d’une mani` ere polynomiale (ex. vari´ et´ es`a courbure positive, groupes de Lie ` a croˆ ıssance polynomiale, groupes discrets nilpotents, etc.; cf. [1], [2]). D` es que l’on se trouve en pr´ esence d’une croˆ ıssance superpolynomiale du volume l’´ etude de la bornitude des transform´ ees de Riesz devient probl´ ematique. L’investigation de ce type de situations a fait l’objet de plusieurs travaux de la part du premier auteur (cf. par exemple [7] pour les groupes de Lie non moyennables et [8] pour les vari´ et´ es Riemanniennes `a courbure minor´ ee). D’autres r´ esultats ont ´ et´ e obtenus r´ ecemment pour les groupes de Lie moyennables non-unimodulaires et pour certains espaces homog` enes avec une croissance du volume exponentielle (cf. [9]). Il existe n´ eanmoins un contexte ´ el´ ementaire o` u le probl` eme de Riesz se pose d’une mani` ere naturelle en pr´ esence d’un volume exponentiel. En effet, en se pla¸ cant dans l’espace euclidean R n et en ajoutant au Laplacien standard un “Drift” on obtient un op´ erateur qui est auto-adjoint pour une mesure pour laquelle la croissance du vol- ume des boules est exponentielle. L’investigation de la bornitude des transform´ ees de Riesz sur les espaces L p correspondant ` a cette mesure ne peut plus se faire via la th´ eorie de Calderon-Zygmund. Nous ´ etudions ci-dessous ce probl` eme. La m´ ethode que nous utilisons, qui est bas´ ee sur l’utilisation du noyau de la chaleur, se g´ en´ eralise tr` es naturellement dans le contexte des sous-Laplaciens sur les groupes de Lie moyennables. Elle permet d’obtenir dans ce contexte un certain nombre de r´ esultats concernant la bornitude des transform´ ees de Riesz pour des sous-Laplaciens avec Drift. Nous illustrons ces r´ esultats `a travers l’exemple du groupe de Heisenberg et de certains groupes r´ esolubles de rang 1. Received by the editors October 30, 1998. 2000 Mathematics Subject Classification. Primary 58Jxx, 43-XX; Secondary 35Jxx, 35Kxx. Key words and phrases. Riesz transforms, drift, Lie groups, convolution. c 2004 American Mathematical Society 2139 License or copyright restrictions may apply to redistribution; see http://www.ams.org/journal-terms-of-use