Chứng minh các điểm thuộc một đường tròn Trần Quang Hùng - Trường THPT chuyên KHTN Tóm tắt nội dung Trong hình học có một phương pháp vô cùng đơn giản nhưng rất hữu ích để chứng minh các điểm thuộc cùng một đường tròn đó là dùng định nghĩa. Ta sẽ chứng minh các điểm cách đều một điểm cho trước hoặc cùng nhìn một đoạn thẳng dưới một góc vuông. Cách này thường hay bị lãng quên khi chúng ta biết các công cụ mạnh về góc nội tiếp hay tứ giác nội tiếp, nhưng thực sự đó luôn là một phương pháp hay và hữu ích. Chúng ta hãy tìm hiểu kỹ hơn qua các ví dụ sau. Chúng ta hãy bắt đầu với một ví dụ kinh điển, đó là đường tròn 9 điểm Euler. Bài 1 (Đường tròn Euler). Cho tam giác ABC . Các đường cao AA 1 ,BB 1 ,CC 1 đồng quy tại H . Các trung tuyến AA 2 ,BB 2 ,CC 2 . A 3 ,B 3 ,C 3 lần lượt là trung điểm HA,HB,HC . Chứng minh rằng 9 điểm A 1 ,A 2 ,A 3 ,B 1 ,B 2 ,B 3 ,C 1 ,C 2 ,C 3 cùng thuộc một đường tròn. Đây là một bài toán kinh điển với rất nhiều lời giải, lời giải dưới đây tôi xin trình bày thông qua một bổ đề rất quan trọng của hình học Bổ đề 1.1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H . M là trung điểm của BC . Chứng minh rằng HA ‖ OM và HA =2OM . A B C O D H M Giải bổ đề. Gọi AD là đường kính của (O). Ta dễ thấy CD ⊥ AC ⊥ HB suy ra HB ‖ DC . Tương tự HC ‖ DB. Từ đó suy ra tứ giác HBDC là hình bình hành. Vậy M là trung điểm chung của HD và BC , vậy OM là đường trung bình của tam giác DHA nên HA ‖ OM và HA =2OM . 1