Ridge Path in Mixtures Experiments: Optimal Result with Restriction on Prediction of Variance T. M. Nepomucena, M. A. Cirillo and F. S. Menezes Abstract— In order to evaluate a methodology applied to the ridge analysis in mixing experiments with linear constraints, this article proposes through the construction of a ridge path to obtain the maximum or minimum value of the predicted response under a prediction variance conditioned to a restriction. For this purpose, we considered two experiments mixtures with variables with a lower or upper bound limit. The results were compared with the ones obtained by other methods available in the literature. According to the degree of multicollinearity of the variables in each experiment, it was observed that the proposed methodology was efficient to provide predicted response with the value higher than the maximum obtained by existing methods and variance reduced prediction. Keywords— Mixtures, Multicolinearity, Predicition Variance, Optimization. I. INTRODUÇÃO ANÁLISE ridge desenvolvida por [1] surgiu com o objetivo de facilitar a identificação de regiões experimentais que contemplam um ótimo local ou global, assumindo um modelo quadrático em superfície de respostas multidimensionais. Neste contexto, a aplicação desta análise pressupõe que a região experimental esteja circunscrita em uma região esférica de raio r, o que justifica considerar a restrição (1) incorporada no modelo quadrático, através da função lagrangeana (2) representada em termos matriciais. t 2 r = xx (1) ( ) 2 0 F b r ' ' ' = + + -λ - xb x Bx xx (2) Convém ressaltar que para sucessivos valores incrementados ou reduzidos em r, uma nova região esférica é gerada. Desta forma, o deslocamento da origem em direção a uma região, na qual esteja localizado um ótimo, produz uma trajetória que conduz ao máximo ou mínimo. O método utilizado para a construção dessa trajetória, respectivamente é denominado por inclinação ascendente ou descendente [2]. Numericamente, o processo de otimização inicia-se por meio da derivação (3), na qual, igualando a zero obtém-se as coordenadas do ponto estacionário (4) a ser investigado como máximo, mínimo ou ponto de sela. 1 F 2 2 ∂ = + - λ ∂ b Bx x x (3) T. M. Nepomucena, Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Baiano, Bahia, Brasil, tanianepomucena@yahoo.com.br. M. A. Cirillo, Universidade Federal de Lavras, Minas Gerais, Brasil, macufla@gmail.com. F. S. Menezes, Universidade Federal de Lavras, Minas Gerais, Brasil, fsdmenezes@dfi.ufla.br . Autor correspondente: M. A. Cirillo ( ) 1 1 2 - =- -λ x B I b (4) note que em (4) devem ser tomados valores para Ȝ diferentes dos autovalores de B, dada a condição de existência de (B - ȜI) -1 . Segundo [3], caso sejam selecionados valores de Ȝ partindo-se para a esquerda de +∞, obtém-se a trajetória em direção do máximo do valor predito em x. Para os valores de Ȝ próximo a - ∞, a trajetória é dada em direção ao mínimo. As trajetórias das respostas intermediárias são alcançadas com valores de Ȝ situados nos intervalos dos autovalores de B. Em se tratando da modelagem de misturas de componentes, por apresentar dependência entre as covariáveis, naturalmente verifica-se a presença de multicolinearidade. Segundo [4], no caso de misturas restritas, o nível de multicolinearidade é de moderadamente alto a severo, cujo principal efeito é verificado no inflacionamento das variâncias das estimativas dos parâmetros. Contudo, ao aplicar a análise ridge em experimentos de misturas e reportar-se as considerações feitas por [5] no que diz respeito, à ocorrência de perturbações na variância das respostas preditas, sendo estas, provenientes do delineamento experimental, direciona-se a aplicação da análise ridge em modelos de misturas a uma condição restritiva. É indiscutível que as pesquisas científicas e os estudos visam à descoberta do desconhecido, a obtenção de novas tecnologias ou implementação do que já se tem algum conhecimento. A exemplo, podem ser citadas a contribuição presentes nos artigo [6] correspondendo a uma inovação quanto à forma de monitorar a Qualidade da Energia Elétrica (QEE), visto que o método para calcular e gerenciar os principais indicadores da QEE descritos no artigo servem como base para o desenvolvimento de uma ferramenta de diagnóstico da QEE aplicável a qualquer Sistema Elétrico. [7] propuseram uma modelagem matemática, com o objetivo de programar a execução dos serviços de manutenção preventiva para um sistema de fornecimento de água, encontrando a solução que maximiza o uso de um poço para abastecimento de água. Em ambos os trabalhos, é factível a aplicação da regressão ridge, de forma a agregar novas informações ao controle de qualidade e processo de otimização. Na genética, [κ] desenvolveram algoritmos computacionais aplicando regressão ridge, em situações em que o número de parâmetros excedem excessivamente o número de observações, conduzindo a um modelo heterocedástico. De acordo com [λ], a análise ridge pode ser usada para calcular e monitorar graficamente as estimativas de mínimos quadrados de um modelo de regressão que apresente pertubações aleatórias causadas pela presença de observações discrepantes. Nesse contexto, é acrescentado que a soma dos quadrados dos resíduos na regressão poderá ser escrita como uma função quadrática dos coeficientes, sendo possível então, obter-se o “desenho” da trajetória, ao longo da A 290 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 15, NO. 2, FEB. 2017