Sezgi ve İspat: Sonsuz Kümeler Penceresinden Bir Bakış Ozan Pala Serkan Narlı Anahtar Kelimeler: Sezgi, Sonsuz Kümeler, Eşgüçlülük, İspat, Matematik Eğitimi ÖZET Bilim yolu ile kanıtlarız, ancak sezgi yolu ile keşfederiz. Henri Poincaré (1854-1912) Fischbein’e (1999) göre öznel bir kesinlik hissinin doğurduğu özel bir bilişsel yapı olan sezginin, yeterli mantıksal muhakemenin gerçekleştirilemediği durumlarda bireyin karar süreçlerine müdahale edebildiği ve bu nedenle yukarıda belirtildiği gibi bazı keşiflere olanak sağladığı söylenebilir. Bununla birlikte matematiğin bireyleri kesin doğruya götüren yegâne düşünme yolu olduğu (Yıldırım, 2004) düşünüldüğünde matematiksel kavramlara ait sezgisel keşiflerin formel açıdan niteliğinin belirlenmesinin matematik eğitimi açısından büyük önem taşıdığı yorumu yapılabilir. Bu noktada sonsuzluk kavramının bireyler tarafından doğrudan deneyimlenemediği (Tall, 2001) dikkate alındığında, sezgisel yapıların etkin olduğu matematiksel kavramlar arasında gösterilebileceği açıktır. Bununla ilgili olarak Tsamir (1999) sonsuzluğun matematiksel anlamına dair ders alan bireylerde dahi sezgisel yapıların karar verme süreçlerinde etkili olduğunu belirtmiştir. İspat aktiviteler ile matematiksel bilginin kesinliği ortaya konduğundan (Almeida, 2000) sonsuzluk kavramına dair sezgilerin bu aktiviteler içerisindeki rolünün belirlenmesinin önemli olduğu söylenebilir. Bu nedenle bu araştırmada bireylerin sezgisel anlayışlarının, sonsuz kümelerin denkliğine dair ispatlardan hareketle ortaya konması amaçlanmıştır. Daha geniş bir tez çalışmasının parçası olan bu çalışmada öğretmen adaylarının matematiksel olarak anlamlandırmada güçlükler yaşandığı ifade edilen (e.g., Tsamir, 1999,2001; Narlı ve Başer, 2008; Singer & Voica, 2008) sonsuzluk kavramı ile bu kavramın sezgisel anlayışı üzerine durulmuştur. Bunun için bir devlet üniversitesinde ilköğretim matematik öğretmenliği programında ikinci sınıfa devam eden bireyler, Cantor Küme Teorisi ile ilgili konuları içeren bir ders içerisinde 5 hafta boyunca gözlenmiş ve bu ders içerisinde yapılan ispatlar üzerine gerçekleştirilen tartışmalar iki farklı kamera ile kaydedilmiştir. Ayrıca gözlem sürecine paralel olarak sonsuz kümelerin denkliğine dair farklı boyutlara odaklanan ispat soruları içeren 4 farklı form iki alan uzmanı tarafından geliştirilerek belirli zaman aralıkları ile uygulanmıştır. Elde edilen cevaplar üzerinde içerik analizi yapılarak bireylerin sezgisel anlayışlarının baskın olduğu yanıtları belirlenmiştir. Ders içi gözlemlere dair transkripsiyonlar ile içerik analizinde kodlanan yaklaşımlar çalışmanın veri kaynağını oluşturmuştur. Edinilen bulgulara göre öğretmen adaylarının sonsuz kümeleri karşılaştırmaları gerektiren pek çok noktada sezgisel kabule dayanan anlayışları referans aldıkları belirlenmiştir. Söz konusu yaklaşımlarda çoğunlukla herhangi bir formal yapı ortaya koyulmaksızın sadece sözel ve görsel açıklamalar ile yetinildiği görülmüştür. Bu noktada karşılaşılan bazı temel örnekler aşağıda sunulmuştur:  Sonsuzluğun bir bütün olarak nesneleştirilememesi  Sonsuzluğun tek türlü var olabileceği düşüncesi  Sonsuz kümeler karşılaştırılamayacağı düşüncesi  Parçanın bütüne denk olamayacağı düşüncesi Sonuç olarak ispatlarda açığa çıkan sezgisel yaklaşımların genel olarak bireylerin formel ispata ulaşmasını engellediği belirlenmiştir. Bununla birlikte sınırlı durum içerisinde de olsa sonsuzluğun formel matematiksel yapısı ile çelişmeyen ve bireylerin formel ispata ulaşabilmesinde onlara yardımcı olan sezgiler ile de karşılaşılmıştır. Bahsedilen tüm bu bulgulara ait kapsamlı örnekler sunumda paylaşılacaktır. Üniversite matematiği içerisinde özel bir yeri olan sonsuzluk kavramının öğretmen adayları tarafından kavramsallaştırılmasının ilerideki öğretimlerini olumlu etkileyeceği dikkate alındığında sık karşılaşılan sezgilerin ve bunların informal yönlerinin gözetilerek derslerde sunulması gerektiği söylenebilir.