HIRSCH, KI A. Math. Zeitschr. Bd. 63, S. 290--294 (t955) Ober lokal-nilpotente Gruppen. ISSA~ SCHUR zum Ged/ichtnis~ Von KURT A. HIRSCH. An anderer Stelle ([8J, [9]) habe ich den folgenden Satz bewiesen: Satz 1. Eine Gruppe G mit Maximalbedingung /ar Untergruppen, in der jede echte Untergruppe yon ihrem Normalisator verschieden ist, ist nilpotent 1). Es liegt nahe, zu fragen, ob die Voraussetzung der Maximalbedingung ab- geschw~cht oder ganz fortgelassen werden kann, wenn die Folgerung ent- sprechend abgeschw~cht wird. In dieser Richtung hat PI_OTI~II~ den folgenden Satz bewiesen ([11] ; s. auch [10], w 62) : Satz 2. Eine Gruppe G, in der jede echte Untergruppe von ihrem Normali- sator verschieden ist, ist lokal-nilpotent~). Ich will nun hier zeigen, dab eine versch~rfte Form der Schltisse, die ich bei dem Beweis von Satz 1 benut~t habe, ausreicht, um einen einfachen Be- weis von satz 2 zu erbringen. Zu diesem Zweck brauche ich zwei SAtze, die auch an sich Interesse beanspruchen dfirfen. Satz 3. Jede beliebige Gruppe G besitzt einen eindeutig bestimmten maxi- malen lokal-nilpotenten Normalteiler, der alle lokal-nilpotenten Normalteiler yon G umlaut. Dieser Satz ist eine unmittelbare Folge yon Satz 4. Das Erzeugni s 2weier lokal-nilpo~enter Normalteiler A und B einer beliebigen Gruppe G ist selbst lokal-nilpotent. Satz 4 und Satz 3 entsprechen den beim Beweis yon Satz t benutzten Tatsachen, dab das Erzeugnis zweier nilpotenter Normalteiler einer beliebigen Gruppe selbst ein nilpotenter Normalteiler ist, und dab daher jede Gruppe mit Maximalbedingung far Normalteiler einen eindeutigen maximalen nil- potenten Normalteiler besitzt, der alle nilpotenten Normaiteiler umfal3t ([7], Theorem 3.1 ; s. auch [2], Satz i4). Schliel31ich will ich noch auf ein mehrfach zu benutzendes KoroUar eines Satzes yon BAER hinweisen ([1], S. 363; s. auch [10], w S at z 5. Jede endlich erzeugte nilpotente Gruppe er]i~llt die Maximalbedingung ]i~r Untergruppen. x) Eine Gruppe heil3t, nilpotent, wenn sie eine Zentralreihe endlicher L~.nge besitzf. 2) Lokal-nilpotent heiBt eine Gruppe, in der jedes endliche System yon Elementen eine nilpotente Untergruppe erzeugt.