Calculul numeric al valorilor proprii şi al vectorilor proprii 70 Cap. 5. CALCULUL NUMERIC AL VALORILOR PROPRII ŞI AL VECTORILOR PROPRII Se consideră o matrice A pătratică de ordinul n cu elemente reale. Un număr C ∈ λ se numeşte valoare proprie a matricei A dacă există un vector 0 x x ≠ ∈ , n R , astfel încât: x x A λ = , (5.1) iar vectorul x se numeşte vector propriu al matricei A asociat valorii λ. Relația (5.1) poate fi scrisă sub forma: 0 x I A = λ − ) ( , (5.2) cu I – matricea unitate de ordinul n. Ecuația matriceală (5.2) poate fi exprimatăşi în variantă dezvoltată sub forma: ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⋅ λ − λ − λ − 0 ... 0 0 ... ... ... ... .... ... ... ... 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 n nn n n n n x x x a a a a a a a a a . (5.3) Pentru ca sistemul liniar şi omogen (5.3) să admităşi soluții nebanale, altfel spus pentru ca matricea A să aibă valori proprii şi vectori proprii, este necesar şi suficient ca determinantul sistemului să fie nul, adică: 0 ) ( ) det( 1 1 2 1 = + λ + + λ + λ = λ = λ − + − n n n n n c c c c P K I A . (5.4) Ecuația (5.4) este numită ecuația caracteristică a matricei A, iar polinomul (de fapt, funcția polinomială) ) (λ n P se numeşte polinomul caracteristic al matricei A. Observație: În relația (5.4) este cunoscută valoarea coeficientului dominant, n c ) 1 ( 1 − = . În practică este utilizatăşi o altă formă a ecuației caracteristice şi, corespunzător, a polinomului caracteristic; această formă este obținută prin înmulțirea relației (5.4) cu (–1): 0 ) ( ) det( ' 1 ' 1 ' 2 ' 1 ' = + λ + + λ + λ = λ = − λ + − n n n n n c c c c P K A I , (5.5)