1 NOTAS SOBRE LA DOCTRINA LEIBNIZIANA DE LOS INCOMPARABLES Federico Raffo Quintana CEFHIC UNQ - CONICET / UCA Introducción Como es sabido, a finales del siglo XVII fueron intensas las discusiones sobre los fundamentos de la matemática infinita, cuyo desarrollo en las décadas anteriores había sido notable. Si bien es claro que los críticos del cálculo infinitesimal fueron en buena medida los interlocutores de estas discusiones, como atestiguan, por ejemplo, las publicaciones de Nieuwentijt y de Rolle, también es cierto que los simpatizantes del cálculo leibniziano, como Joh. Bernoulli o Varignon, tenían dudas sobre el modo como Leibniz lo fundamentó. Uno de los puntos más álgidos de los debates sobre los fundamentos fue la engorrosa cuestión sobre la naturaleza y la existencia de los infinitos y, especialmente, de los infinitésimos. Si tenemos en cuenta que el cálculo infinitesimal leibniziano recurre a la introducción de cantidades infinitesimales, podemos entender por qué para muchos de sus contemporáneos se trató de un procedimiento que, más allá de los resultados que nos provea, no parecía estar debidamente justificado. Más aún, el hecho de que Leibniz haya concebido a las cantidades infinitas e infinitamente pequeñas como ‘ficciones’ no solamente no echó luz sobre la cuestión, sino que, por el contrario, parece haberla sumergido en una oscuridad aún más profunda. Como un ejemplo de estas controversias sobre los fundamentos, consideremos la discusión en torno de los infinitésimos que se encuentra en la correspondencia entre Leibniz y Bernoulli. Por una cuestión de orden, más adelante, en la tercera sección, me referiré a una de las objeciones esgrimidas por Nieuwentijt, esto es, un crítico del cálculo infinitesimal, con lo que tendríamos un panorama más completo de los planteos acerca de los fundamentos del cálculo. El intercambio entre Leibniz y Bernoulli, que recorre numerosas cartas entre mediados de 1698 y comienzos del año siguiente (especialmente GM III, 497-576), es particularmente interesante por tratarse de dos entusiastas de la matemática infinita. La posición de Bernoulli puede ser resumida muy sintéticamente así: si un cuerpo finito tiene un número infinito de partes actuales, “la mínima de esas partes debe tener, al todo, una razón inasignable o infinitamente pequeña” (GM III, 519). 1 Esta concepción queda más clara cuando es formulada en términos de series o sucesiones: si decimos que hay infinitos términos en una sucesión infinita decreciente, como, por ejemplo, en 1 2 , 1 4 , 1 8 , 1 16 etc., entonces se sigue que hay un término infinitésimo: “si los términos son diez, entonces existe el décimo; si los términos son cien, existe el centésimo; si los términos son mil, existe el milésimo; por lo tanto, si los términos son infinitos en número, existe el infinitésimo” (GM III, 563; véase también, entre otros, 529, 539, 545- 546, 555). 2 En otras palabras, si hay un número infinito de ellos, entonces no podemos 1 “Nam si corpus finitum habet partes numero infinitas, credidi semper et etiamnum credo, minimam istarum partium debere habere ad totum rationem inassignabilem seu infinite parvam”. 2 “Si decem sunt termini, existit utique decimus; si centum sunt termini, existit utique centesimus; si mille sunt termini, existit utique millesimus; ergo si numero infinit sunt termini, existit infinitesimus ”.