Equazioni diofantine, numeri potenti e la congettura ABC Umberto Cerruti Universit`adiTorino 1 Equazioni diofantine Una equazione diofantina F (x, y, .., z )=0` e una equazione in un numero arbitrario di varia- bili, di grado qualsiasi, con coefficienti interi. Nel 10 o problema, tra i 23 che Hibert propose alla comunit`a matematica nel 1900, si chiede se esista un algoritmo che, data una equazione diofantina F , riesca a stabilire, in un numero finito di passi, se essa ha o meno soluzioni intere. Questa domanda ha avuto risposta negativa nel 1970, per opera di Matiyasevich. Si tratta di un vero e proprio limite conoscitivo: un tale algoritmo non esiste e non esister` a mai. Naturalmente si pu`o tentare di rispondere ad altre domande. Nel caso pi` u frequente si considera una specifica equazione diofantina e ci si chiede se essa abbia soluzioni, e quante siano. Tra le pi` u famose equazioni diofantine c’` e quella di Fermat x n + y n = z n (1) Nel 1630 Fermat (1601 − 1665) congettur`o che la (1) non ha soluzioni (non banali) per n> 2. Questo problema ha una lunga e complessa storia (si pu`o averne una idea sul ben noto sito The MacTutor History of Mathematics archive; per una introduzione pi` u tecnica si legga [4]). La Congettura di Fermat ` e stata dimostrata definitivamente nel 1995 da Wiles. Un’altra famosa equazione ` e questa: x n − y m =1 (2) La Congettura di Catalan asserisce che l’unica soluzione della 2 ` e data da x =3,y =2,n =2,m =3 Nel 1976 Tijdeman ([18]) prov`o che la (2) ha un numero finito di soluzioni. Nel 2002 Mihailescu ([11]) dimostr`o che in effetti la (2) ha soltanto una soluzione. Sia nel caso di Fermat che in quello di Catalan si tratta di teoremi le cui dimostrazioni sono estremamente difficili, e si basano su una lunga catena di teoremi, ottenuti da molti matematici nel corso di decine di anni. 1