LIC. OSMAL ENRIQUE MORÁN ARROYO
PROBLEMAS DEL 11 AL 20 CONAMAT VOLUMEN DE SÓLIDO DE REVOLUCIÓN
11. Precisa el volumen que se genera al rotar en torno al eje X la superficie limitada por la semi–
elipse 9
2
+ 25
2
+ 54 − 144 = 0 y el eje X. (Método de Discos)
Solución: Verificado
9
2
+ 54 + 25
2
= 144
9
2
+ 54 = 0
2
+ 6 = 0
2
+ 6 + 9 = 9
9(
2
+ 6 + 9) + 25
2
= 144 + 81
9( + 3)
2
+ 25
2
= 225
( + 3)
2
25
+
2
9
=1
Forma:
( − ℎ)
2
2
+
( − )
2
2
=1
Semi-elipse
=
3
5
√25 − ( + 3)
2
Centro: (h, k)
(ℎ, ) = (−3, 0)
= 5; =3
= √25 − 9 ; =4
Vértice horizontal y verticales:
ℎ
= (± + , )
1ℎ
= (−, 0);
2ℎ
= (, 0)
= (, ± + )
3
= (−3, 3);
4
= (−3, −3)
Focos: = (± + , )
1
= (−7, 0);
2
= (1, 0)
Los vértices horizontales son los
puntos a evaluar en la integral.
=∫ [
3
5
√25 − ( + 3)
2
]
2 2
−8
=
9
25
∫ (25 −
2
− 6 − 9)
2
−8
=
9
25
∫ (16 −
2
− 6)
2
−8
=
9
25
[16 −
1
3
3
− 3
2
]
−8
2
=
9
25
[32 −
8
3
− 12 − (−128 +
512
3
− 192)]
=
9
25
[20 −
8
3
−(
512
3
− 320)]
=
9
25
[
60
3
−
8
3
−(
512
3
−
960
3
)]
=
9
25
[
52
3
− (−
448
3
)]
=
9
25
[
500
3
]
= 60
3