ID 1 Signals and Linear Systems: A Teaching Approach Based on Infinitesimal Calculus (Part I) J. L. Simancas-Garc´ ıa, Member, IEEE, K. George-Gonz´ alez, Ph.D. Abstract—In this article, part I of II, the development of a course on linear signals and systems is presented, based on an infinitesimal calculus model, called MicroCalculus. Such a calculus model allows a didactic development of the fundamental concepts of a signal course. The signals are defined from the fundamental elements of variable and function. MicroCalculus offers a new vision to signal classification, as well as a treatment of non-standard functions as generalized functions, which in the new calculus model can be treated as standard functions. Then, the development of the discrete and continuous convolution operation is presented, from a unified approach. In part II of the article, the solution of the differential equations of linear systems using infinitesimal calculus is presented. Then, a unified development of the Fourier Analysis is performed, where the Fourier Series, the Transform and the Discrete Transform are presented as 3 versions of the same entity. Finally, a didactic development of the Discrete Fourier Transform is presented. Index Terms—Infinitesimals calculus, hyperreals numbers systems, signals, linear systems, non-standard functions. I. I NTRODUCCI ´ ON E N este art´ ıculo se presenta el uso del c´ alculo con infinitesimales (CI) en el estudio de la asignatura Se˜ nales y Sistemas (SyS). Toda disciplina cient´ ıfica que realice el modelamiento matem´ atico de la realidad que ella estudia, se sustenta en un modelo de c´ alculo. Raz´ on por la cual, los estudiantes de ingenier´ ıa realizan cursos de c´ alculo diferencial e integral, c´ alculo multivariable, ecuaciones diferenciales, an´ alisis de Fourier, etc., lo que se denomina An´ alisis Est´ andar (AE). Lo que la mayor´ ıa de los estudiantes desconoce, es que ese c´ alculo que aprenden en los primeros ciclos formativos a nivel universitario, es apenas un tipo de modelo de c´ alculo, y que en realidad han existido y existen otros. Por ejemplo, Newton desarroll´ o y aplic´ o su propio modelo de c´ alculo a los problemas de la f´ ısica. En igual situaci´ on se encontraba el matem´ atico Leibniz, quien resolvi´ o muchos de los problemas geom´ etricos de su ´ epoca usando su ´ algebra diferencial. Estos modelos desaparecieron con el tiempo dentro del campo de las matem´ aticas luego de una interesante historia, la cual se puede consultar en [1] [2]. El m´ as difundido en la actualidad en las universidades del mundo, es el J. L. Simancas-Garc´ ıa, est´ a en el Departamento de Ciencias de la Computaci´ on y Electr´ onica, Universidad de la Costa, Calle 58 Cra 55 – 66, Barranquilla, Colombia e-mail: (jsimanca3@cuc.edu.co). K. George-Gonz´ alez, es Doctor en Ciencias del CINVESTAV, M´ exico, y dirige la Fundaci´ on Innovaci´ on y Conocimiento (https://innovacionyconocimiento.com), Barranquilla, Colombia e-mail: (kemel.george@gmail.com). modelo de c´ alculo basado en l´ ımites, al que se le denomina normalmente C´ alculo Est´ andar (CE), cuyo surgimiento se dio mucho tiempo despu´ es de la mano de Cauchy, seguido por Bolzano, Dedekind y otros, que lo fueron perfeccionando. Por otro lado, todo modelo de c´ alculo tiene como base un sistema num´ erico. Para el CE, el sistema es el de los n´ umeros reales R. Este sistema num´ erico no contempla la existencia de n´ umeros infinitamente grandes e infinitamente peque˜ nos, conocidos como infinitos e infinitesimales, respectivamente. De hecho, el surgimiento del CE y la desaparici´ on de los modelos de c´ alculo de anteriores, radica en que estos ´ ultimos hac´ ıan uso de estas cantidades infinitas, las cuales no eran f´ acilmente aceptadas por otros matem´ aticos, y los desarrollos realizados desde la perspectiva infinitesimal eran considerados carentes de rigor. Cuando se construyen los n´ umeros reales, y su interpretaci´ on geom´ etrica en forma de recta num´ erica, por cuenta de Dedekind y su uso de la teor´ ıa de conjuntos de Cantor y Weierstrass, las referencias a cantidades infinitas desaparece casi por completo del campo de las matem´ aticas. Con los R y el concepto de l´ ımite de Cauchy, nace ´ el CE, considerado por mucho tiempo el ´ unico que cumpl´ ıa los criterios de rigor que exigen los matem´ aticos ”puros” [2]. Sin embargo, a mediados del siglo XX, el matem´ atico Abraham Robinson, usando la l´ ogica, dio origen al denominado An´ alisis No Est´ andar (ANE) y al sistema num´ erico hiperreal (SNH), ∗ R, que es una versi´ on extendida del sistema R, en el se contempla y justifica, con todo el rigor, la existencia de n´ umeros infinitos e infinitesimales. De esta manera, este tipo de n´ umeros dejaron de ser aberraciones, como eran considerados, para convertirse en entidades validas para ser utilizadas en la resoluci´ on de problemas en donde se requiere el uso del c´ alculo [3]. Un ejemplo de aplicaci´ on del SNH para la soluci´ on de problemas de ingenier´ ıa, es el estudio de las redes transfinitas [4] [5] [6], que es una generalizaci´ on de la teor´ ıa de redes convencionales, en donde se consideran sistemas de tama˜ no infinito y, por ende, el surgimiento de magnitudes infinitesimales, las cuales requieren construcciones matem´ aticas no est´ andar. Debido a lo anterior, algunos autores han desarrollado sus propias versiones de c´ alculo, que han denominado MicroC´ alculo (MC). ´ El MC es el estudio de los fen´ omenos del c´ alculo a escala infinitesimal. Espec´ ıficamente, aquellos representados en el Dominio Continuo (DC) que, en realidad, se originan en el Dominio Discreto (DD), y que mediante el MC hacen un transito al DC [1] [7]. Se trata de un tipo de c´ alculo discreto infinitesimal (CDI).