УДК 517.977.1 © 1995 г. Ф. ДАЙМОНД, д-р (Университет Квинсленда, Брисбен, Австралия), П. КЛОЕДЕН, д-р (Университет Деакин, Джилонг, Австралия), В. С. КОЗЯКИН, М. А. КРАСНОСЕЛЬСКИЙ, А. В. ПОКРОВСКИЙ, доктора физ.-мат. наук (Институт проблем передачи информации РАН, Москва) ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ТРАЕКТОРИИ НЕГЛАДКИХ ВОЗМУЩЕНИЙ СИСТЕМ С ХАОТИЧЕСКИМ ПОВЕДЕНИЕМ 1 В статье проводится анализ периодических режимов систем со сложным псевдохаотическим поведением при малых негладких их возмущениях. Пред- полагается, что исходная система обладает свойством полугиперболичности, близким к традиционному понятию гиперболичности. 1. Введение Недавно выяснено, что при синтезе детерминированных систем управления по- лезно вводить участки псевдохаотического (например, гиперболического) поведения. Это позволяет в ряде случаев упростить алгоритмы управления и добиться ряда других преимуществ (см., например, [1, 2]). При этом важны оценки влияния на основные глобальные, характеристики системы в зоне ее хаотического поведения ма- лых шумов и искажений характеристик звеньев системы. Некоторые результаты в этом направлении получены для гладких возмущений рассматриваемых систем. В то же время во многих приложениях принципиальна именно негладкость возмуще- ний (негладкие возмущения типичны для систем управления, негладкость блоки- рует применение хорошо разработанных методов теории структурной устойчивости и т.д.). Изучаемая в статье глобальная характеристика - это структура множе- ства периодических режимов возмущенных систем. Получение результатов в этом направлении - основная тема статьи. 2. Основные результаты Рассмотрим гладкое отображение / : 3J d —> 3f d и соответствующую динамиче- скую систему i (1) х п = /(z n _i). Напомним, что отображение / называется гиперболическим (см., например, [3]) на компактном множестве М С если оно удовлетворяет следующим трем тре- бованиям. HI. / обратимо в некоторой окрестности М и М инвариантно как для / , так и для Н2. Для каждого х Е М пространство может быть представлено как прямая сумма 9f d = Ex + причем эта декомпозиция инвариантна относительно Df и зависит непрерывно от х. , НЗ. Существуют числа С > 0 и 0 < А < 1, такие что, \(Df n ) x u\ ^ СХ п \и\ и \(Df n ) x v\ ^ А~ П Н для всех х Е М, и Е Е% и v Е Е%. : Ф. Даймонд, П. Клоеден и А. В. Покровский были поддержаны грантом А89132609 Австралий- ского совета по научным исследованиям. В. С. Козякин и М. А. Красносельский были частично поддержаны грантом 93012884 Российского фонда фундаментальных исследований. 34