Труды Математического института РАН 1994, том 207 УДК 511.3 И.Ш. Джаббаров Об оценках тригонометрических интегралов Многие задачи анализа, аналитической теории чисел, теории вероятностей, ма- тематической физики приводят к рассмотрению интегралов вида где П — ограниченная замкнутая жорданова область, а функция F(x) = F(x\,..., я„), п > 1, несколько раз непрерывно дифференцируема в Q. Задача состоит в нахожде- нии возможно более точной нетривиальной оценки для модуля интеграла (1). В одномерном случае вопрос полностью решается (см.[1-4]); как показано в [4, с.22], оценка теоремы 1.1, вообще говоря, неулучшаема. В 1968 г. А.А.Карацуба (см. [2]) поставил задачу о создании теории кратных тригонометрических сумм, подобной теории И.М.Виноградова. В работах [3-6], по- священных этому вопросу, авторы установили некоторые оценки для интеграла (1) и применили их к оценкам показателей сходимости особых интегралов многомерной проблемы Тэрри. Оценки интегралов (1) основаны на оценках мер многомерных областей специального вида. Тесная взаимосвязь между этими вопросами в свое- образной форме обнаружена и в [7, теорема 1]: со оо 1 1 оо оо (1) — oo — оо 0 0 — OO -оо П(а) где N F(x) = ^a j7j (x)] Ъ(х) = х Arji H h kj n > 0, dx dx\... dx^ da = dcx\... daw П(а) — определяемый неравенством 2k n ©И.Ш. Джаббаров, 1994.