manuscripta math. 27, 31 -45 (1979) manuscripta mathematica 9 by Sprlnger-Vcrlag1979 ZUR THEORIE DER HARMONISCHEN DIFFERENTIALFORMEN Rainer Picard Generalizing harmonic differential forms (rot ~ = O, div = O in M, M being a smooth riemannian manifold with boun- dary) of first and second kind (~ = O and~w = O on ~M resp.) within the framework of Hilbert space notation, it is pos- sible to extend the meaning of the boundary conditions to non-smooth boundaries. It turns out that in this case the classical result is still valid for certain open subregions G of M: The dimension of the space of harmonic differential forms of second kind is given by the q-th Betti number of G; *-duality leads to the respective result for harmonic dif- ferential forms of first kind. I. EINLEITUNG Die klassische Theorie der harmonischen Differentialformen, d.s. Differentialformen ~ mit rot ~ = O und div w = O (rot Cartan-Ableitung, div Co-Ableitung) , auf d-dimensionalen, riemannschen Mannigfaltigkeiten mit Rand formuliert in ihren zentralen Theoremen Aussagen ~ber die Anzahl linear unabh~ngiger Differentialformen erster bzw. zweiter Art (w = O bzw. ~w = O auf dem Rand der Mannigfaltigkeit, hier- bei ist ~ der Hodge'sche Dualitatsoperator, vergl. [4]). Es erweist sich, dab diese durch topologische Charakteristiken (Betti-Zahlen) angegeben werden kann, [2], [3]. Es soll nun im Folgenden diese Fragestellung im Rahmen der L2-Theorie , vergl, z.B. [8] , entwickelt werden. Hierzu ist zun~chst der Ableitungsbegriff im Distributionensinne f~r komponentenweise quadratintegrable q-Formen (Hilbert- raum L~, mit dem Skalarprodukt (w,n)L~: = f w^~) und eben- so die Annahme der Randwerte wie ~blich dutch Umformulierung in Volumenintegrale nach dem Stokeschen Satz zu verallge- meinern (vergl. Abschnitt I). Man erh~it dann in 0bertragung 0025-2611/79/0027/0031/$03.00 31