1989 МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК 180, М> 5 УДК 517.547.22 + 517.538.2 О росте целых функций экспоненциального типа вдоль мнимой оси Хабибуллин Б. Н. Введение В работе исследуются множества единственности на комплексной плоскости С для целых функций экспоненциального типа (ц. ф. э. т.) с ограничениями на рост вдоль мнимой оси j'R. Пусть Л={Х п }— последовательность комплексных чисел (точек), не обязательно попарно различных, п =1, 2, .... С каждой последователь- ностью Л ассоциируется целочисленная считающая мера ]ы Л : MG)= S 1, GcC х п ео Неотрицательное целое число \ХА(Х) У где X— точка на плоскости С, назы- ваем кратностью ),вЛ. Пусть f — целая функция. Говорим, что / обращается в нуль на А, если кратность нуля функции / в каждой точке Х£С не меньше кратности X в Л. В частности, если кратность нуля в каждой точке Х£ С совпадает с кратностью X в Л, то Л—множество нулей /, перенумерованное с уче- том кратности. Для ц. ф. э. т. /, как обычно, ^/(0)—индикатор роста f. Пусть 0<b^Z + °°. Через ^ 6 (Л) обозначаем класс всех ц. ф. э. т. f, обращающихся в нуль на Л и удовлетворяющих условию hf (т) +Н '{-т) <2пЬ - (0Л) В частности, ^' 0О (Л) —класс всех ц. ф. э. т., обращающихся в нуль на Л. Класс &~ъ(Л) называем нетривиальным, если он содержит функцию f. отличную от нулевой, т. е. 1Ф0. Наиболее важным следствием основной теоремы статьи является пол- ное описание нетривиальных классов ^ Ь ( Л ) при фиксированных &>0 в терминах последовательности Л (§5, теорема 1). Это позволяет полу- чить критерий полноты экспоненциальной системы g> A = {2^1^ : X 6 Л, 0 < k < \i A (X)} (0.2) в пространстве функций, аналитических в неограниченной выпуклой об- ласти GczC (§ 5, теорема 2). Через D(z y t) будем обозначать открытый круг радиуса / с центром в точке г€С. Для меры \х на С полагаем jn(z, /) =jn(Z)(2, t)) и \x{t) = =;jLi(0, /). По классической теореме Линделёфа (см. [1]) класс &*<»{&) нетривиален тогда и только тогда, когда последовательность Л имеет ко- нечную верхнюю плотность, т. е. |Ял(0 =0(t), / - > + ° ° . Отправным пунк- том исследований нетривиальных ^~ 6 (Л) при конечном Ъ можно считать, по-видимому, теорему Карлесона [1, с. 219]: класс ^&(N) нетривиален если и только если Ь>1, где N — множество натуральных чисел. Полное 706