Optimal Stokastik ˙ Is ¸aretleme ve Sezici Rasgeleles ¸tirme ¨ Uzerine Bir Derleme A Survey on Optimal Stochastic Signaling and Detector Randomization Berkan D¨ ulek, C ¸a˘ grı G¨ oken, Sinan Gezici, Orhan Arıkan Elektrik ve Elektronik M¨ uhendisli˘ gi B ¨ ol¨ um¨ u Bilkent ¨ Universitesi, Bilkent, Ankara 06800, T¨ urkiye {dulek,goken,gezici,oarikan}@ee.bilkent.edu.tr ¨ Ozetc ¸e Bu bildiride, ortalama g¨ uc ¸ kısıtlı ikili iletis ¸im sistemleri ic ¸in stokastik is ¸aretleme ve sezici rasgeleles ¸tirme y¨ ontemlerinin bir derlemesi sunulmaktadır. ¨ Oncelikle, alıcıda bir adet sabit sezicinin bulundu˘ gu durum ele alınmakta, daha sonra optimal is ¸aretleme ve buna kars ¸ılık gelen sezicinin birlikte tasarlandı˘ gı durum c ¸alıs ¸ılmaktadır. Ayrıca, alıcıda birden c ¸ok sezicinin bu- lundu˘ gu, seziciler arasında rasgeleles ¸tirmenin yapılabildi˘ gi ve her seziciye g¨ onderilen semboller ic ¸in stokastik is ¸aretlemenin m¨ umk¨ un oldu˘ gu durum ele alınmaktadır. Sezicilerde MAP ku- ralı kullanıldı˘ gında, sezici rasgeleles ¸tirme ile ulas ¸ılan ortalama hata olasılı ˘ gının, stokastik is ¸aretleme ile ulas ¸ılan ortalama hata olasılı˘ gından daha b¨ uy¨ uk olamayaca˘ gı g¨ ozlemlenmektedir. Son olarak, sayısal bir ¨ ornek sunulmaktadır. Abstract In this paper, a survey on stochastic signaling and detec- tor randomization is presented for average power-constrained binary communications systems. First, the case of a single fixed detector at the receiver is considered, and then the joint design of detector and optimal signaling is studied. In addition, the optimal receiver design is examined in the presence of detector randomization and stochastic signaling. It is observed that the average probability of error achieved via detector randomiza- tion cannot be larger than that achieved via stochastic signaling in the presence of optimal MAP detectors. Finally, a numerical study is presented to illustrate an example. 1. Giris ¸ Gauss’tan farklı g¨ ur¨ ult¨ u altında c ¸alıs ¸an iletis ¸im kanallarında [1], her sembole kars ¸ılık olarak deterministik is ¸aret yerine stokastik is ¸aret kullanımı, ortalama hata olasılı˘ gının d¨ us ¸¨ ur¨ ulmesine yardımcı olabilmektedir [2, 3]. Alıcıda tek bir sezicinin oldu˘ gu ve bu sezicinin sabit kabul edildi˘ gi durum, ikinci ve d¨ ord¨ unc¨ u moment kısıtları altında [2] numaralı c ¸alıs ¸mada ele alınmaktadır. Ayrıca, ortalama bir g¨ uc ¸ kısıtı altında optimal sezici ve buna kars ¸ılık kullanılacak optimal is ¸aretlerin ortak tasarımı konusu [3]’te c ¸alıs ¸ılmaktadır. Bu c ¸alıs ¸mada, optimal c ¸¨ oz¨ um¨ un en fazla iki is ¸aret de˘ geri arasında rasgeleles ¸tirme ve alıcıda buna kars ¸ılık gelen maksimum sonsal olasılık (MAP) kurallı sezicinin kul- lanılmasıyla elde edilebilece ˘ gi g ¨ osterilmektedir. Benzer g¨ ur¨ ult¨ u kos ¸ulları altında, performansı artırmakta kullanılan di˘ ger bir y¨ ontem de sezici rasgeleles ¸tirmedir [4]. Bu yaklas ¸ım, alıcıda belirli olasılıklarla farklı sezicilerin kul- lanılmasına dayanmaktadır. Bu durumda optimal sezici tasarımı ve rasgeleles ¸tirmesi, alıcıda yer alan her sezici ic ¸in verici tarafından yayınlanan is ¸aretlerin deterministik olması kos ¸ulu altında [4]’te c ¸alıs ¸ılmakta ve iki deterministik is ¸aret c ¸ifti ile bun- lara kars ¸ılık gelen iki adet MAP kurallı sezici arasında yapılacak bir rasgeleles ¸tirmenin optimal oldu ˘ gu g¨ osterilmektedir. Optimal sezicilerin, seziciler arası optimal rasgeleles ¸tirme oranlarının ve sezicilere ¨ ozg¨ u optimal stokastik is ¸aretlerin ortak tasarımı konusu ilk olarak [5]’te ele alınmaktadır. Di˘ ger bir deyis ¸le, bu c ¸alıs ¸mada en genel problem olan, alıcıda birden c ¸ok sezicinin bulundu˘ gu, seziciler arasında rasgeleles ¸tirmenin yapılabildi˘ gi ve her seziciye g¨ onderilen sem- boller ic ¸in stokastik is ¸aretlemenin m¨ umk¨ un oldu˘ gu durum ele alınmaktadır. ¨ Oncelikle, sezicilerde MAP kuralı kullanılması s ¸artıyla, sadece stokastik is ¸aretleme (sezici rasgeleles ¸tirme olmaksızın) kullanılarak elde edilebilecek en d¨ us ¸¨ uk orta- lama hata olasılı˘ gının, sadece sezici rasgeleles ¸tirme (stokastik is ¸aretleme olmaksızın) kullanılarak elde edilebilecek en d¨ us ¸¨ uk ortalama hata olasılı˘ gından her zaman daha y¨ uksek oldu˘ gu g¨ osterilmektedir. Bu sonuca ve bazı ek analizlere dayanarak, en genel problemin optimal c ¸¨ oz¨ um¨ un¨ un iki adet deterministik is ¸aret vekt¨ or¨ une kars ¸ılık gelen MAP kurallı iki adet sezici arasında rasgeleles ¸tirme oldu˘ gu g ¨ osterilmektedir. Bu derlemede, [2]-[6] numaralı c ¸alıs ¸malar temel alınarak, c ¸es ¸itli senaryolarda optimal stokastik is ¸aretleme ve sezici rasgeleles ¸tirme incelenmektedir. Ayrıca sayısal bir ¨ ornek sunularak, farklı is ¸aretleme ve rasgeleles ¸tirme teknikleri, orta- lama hata performansı ac ¸ısından kars ¸ılas ¸tırılmaktadır. 2. Problem Tanımı ˙ Ikili bir iletis ¸im sisteminde alıcı, toplanır g¨ ur¨ ult¨ u kanalı ¨ uzerinden sayıl ¨ olc ¸¨ umler elde etmektedir. Alıcı, en c ¸ok K adet farklı sezici (karar kuralı) arasında rasgeleles ¸tirme veya zaman paylas ¸ımı yapabilmektedir. Belirli bir anda, alıcıda bulunan K adet seziciden sadece biri hangi sembol¨ un g¨ onderilmis ¸ oldu˘ gu hakkında karar vermek ic ¸in kullanılabilmektedir. Sezici rasgeleles ¸tirme sırasında vericinin, alıcıda o anda hangi sezicinin kullanıldı˘ gını bildi˘ gi varsayılmaktadır. Ayrıca, sezici rasgeleles ¸tirmeye ek olarak stokastik is ¸aretleme (rasgeleles ¸tirme) y¨ ontemi de kullanılmaktadır. Bu sebeple, toplanır g¨ ur¨ ult¨ u kanalı ¨ uzerinden her bir seziciye ikili sem- bollere kars ¸ılık olarak g¨ onderilen is ¸aretler, rassal de˘ gis ¸ken olarak modellenmektedir [5]. Stokastik is ¸aretleme ve sezici rasgeleles ¸tirme bir arada d¨ us ¸¨ un¨ uld¨ u˘ g¨ unde, sezici i’de g¨ ozlemlenen sayıl ¨ olc ¸¨ um as ¸a˘ gıdaki s ¸ekilde ifade edilmektedir: Y = S (i) j + N, j ∈{0, 1} ve i ∈{1,...,K} . (1) Burada Y g¨ ur¨ ult¨ ul¨ u¨ olc ¸¨ um¨ u, S (i) 0 ve S (i) 1 sırasıyla 0 sembol¨ u ve 1 sembol¨ u ic ¸in sezici i’ye g¨ onderilmis ¸ sinyal de˘ gerlerini ve N ise S (i) j ’den ba˘ gımsız olan g¨ ur¨ ult¨ uy¨ u simgelemektedir. Ayrıca π0 ve π1 s ¸eklinde g¨ osterilen ¨ onsel olasılıkların da bilindi˘ gi varsayılmaktadır. G¨ onderilen sembol¨ u sezimlemek ic ¸in alıcıda kullanılan K adet karar kuralı, en genel duruma uygun olarak s ¸u s ¸ekilde ifade edilebilir: φ (i) (y) = j, e˘ ger y ∈ Γ (i) j . Burada Γ (i) 0 ve Γ (i) 1 sırasıyla, 0 sembol¨ u ve 1 sembol¨ u ic ¸in sezici i’nin karar b¨ olgelerini simgelemektedir [7]. Alıcı, ortalama hata olasılı˘ gını m¨ umk¨ un olan en d¨ us ¸¨ uk de˘ gere c ¸ekmek ic ¸in K adet sezici arasında her t¨ url¨ u oranda rasgeleles ¸tirme ya da zaman paylas ¸ımı uygulayabilir. Sezici φ (i) ic ¸in kullanılan rasgeleles ¸tirme oranı vi ile ifade edilirse ( ∑ K i=1 vi = 1 ve t¨ um i = 1,...,K ic ¸in vi ≥ 0), ortalama hata olasılı˘ gı Pe = ∑ K i=1 vi P (i) e s ¸eklinde hesaplanır. Burada, i = 1, 2,...,K ic ¸in P (i) e = ∑ j∈{0,1} πj  Γ (i) 1-j p (i) j (y)dy ifadesi, sezici i ic ¸in ortalama hata olasılı˘ gını verir. p (i) j (y) ise sezici i tarafından alınmak ¨ uzere sembol j ’nin g¨ onderildi˘ gi zamanki kos ¸ullu olasılık yo˘ gunluk fonksiyonunu (OYF) simgelemek- tedir. Ayrıca, stokastik is ¸aretleme ele alındı˘ gı ic ¸in, (1)’deki S (i) j , rassal de˘ gis ¸ken olarak modellenmektedir. Sinyal ve 2011 IEEE 19th Signal Processing and Communications Applications Conference (SIU 2011) 271 978-1-4577-0463-511/11/$26.00 ©2011 IEEE