C*-ALGEBRES DE HOPF ET C*-ALGEBRES DE KAC JEAN-MICHEL VALLIN [Received 12 May 1982—Revised 24 February 1984] Introduction Soit G un groupe localement compact. La theorie des algebres de Hopf-von Neumann et des algebres de Kac [14, 15] fournit un cadre general pour etudier la dualite des groupes localement compacts, mettant en particulier en dualite l'algebre L^iG) des fonctions essentiellement bornees sur G avec l'algebre de von Neumann engendree par la representation reguliere gauche de G. (Rappelons que, si G est abelien, cette derniere algebre de von Neumann est isomorphe a L^iG), ou G est le groupe dual.) De meme, cette theorie fournit un cadre satisfaisant pour la dualite des actions des groupes localement compacts sur les algebres de von Neumann. Cet article a pour but de transposer (partiellement) cette theorie au cadre des C*-algebres. Cette transposition necessite un certain nombre de rappels techniques rassembles dans un chapitre preliminaire. En particulier, nous introduisons une nouvelle classe de morphismes entre deux C*-algebres, les S-morphismes; cette notion coincide avec les morphismes de pseudo-espaces introduits independamment par Woronowicz dans [29]. Dans le premier chapitre, on donne des definitions des C*-algebres de Hopf et des C*-algebres de Kac; des definitions different de celles donnees dans [3]; nous employons en effet le produit tensoriel spatial de C*-algebres (pour lequel les C*-algebres C*(G) (g) C*(G) et C*(G x G) sont isomorphes), et non le produit tensoriel $ comme dans [3]. Un des exemples fondamentaux sera la C*-algebre reduite C*(G) (tandis que [3] est surtout consacre a l'etude de la C*-algebre C*(G)). Le deuxieme chapitre fournit quelques resultats generaux sur les C*-algebres de Hopf et les C*-algebres de Kac. Pour illustrer ces definitions, les chapitres 3 et 4 sont consacres a l'etude d'exemples. On demontre ainsi, en particulier, dans le chapitre 3, que les C*-algebres de Kac abeliennes sont exactement les C*-algebres du type C 0 (G) (algebre des fonctions continues, tendant vers 0 a l'infini, sur un groupe localement compact G). On a ainsi une dualite entre les groupes localement compacts et les C*-algebres abeliennes. Dans le quatreme chapitre, nous montrons que la C*-algebre C*(G) est une C*-algebre de Kac symetrique. On definit, dans le cinquieme chapitre, Faction d'une C*-algebre de Kac sur une C*-algebre. Ceci nous permet de remplacer la notion d'action d'un groupe G, par celle d'action de l'algebre C 0 (G), et d'introduire la notion duale d'action de C*(G) (coaction de G). On prouve qu'a toute action de G (respectivement coaction de G), on associe canoniquement sur le produit croise une coaction de G (respectivement une action de G). Partant d'une action d'un groupe G, on generalise alors le theoreme du double produit croise de Takai [26] au cadre des groupes non necessairement abeliens. Un grand nombre de problemes restent ouverts: (1) L'exemple de C*(G) caracterise-t-il le cas des C*-algebres de Kac symet- riques? Proc. London Math. Soc. (3), 50 (1985), 131-174.