PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 90. Number 2. February 1984 QUAND L'ESPACE DES MESURES A VARIATION BORNEE EST-IL FAIBLEMENTSEQUENTIELLEMENT COMPLET? MICHEL TALAGRAND Abstract. We construct a Banach lattice E which does not contain c„ (hence is weakly sequentially complete), but such that the lattice of E-valued measures of bounded variation contains c0. 1. Résultats. Soit E un espace de Banach. Désignons par L\E) l'espace des (classes de) fonctions/Bochner mesurables de [0,1] dans E, telles que 11/11. = f\\f(t)\\dt<co muni de la norme || • ||,. L'auteur démontre que si (/„) est une suite de Cauchy faible de L\E), on peut toujours écrire/, = gn A h„, où gn -» 0 faiblement, et où pour tout t G [0,1], la suite (hn(t))n est de Cauchy faible. En particulier, il en résulte sans peine que L\E) est faiblement séquentiellement complet lorsque E est faiblement séquentiellement complet. Désignons par % la tribu borélienne de [0,1]. Soit MB(F) l'espace des mesures à variation bornée m: S -> E, c'est-à-dire des mesures telles que |m|| = Supi 2 ||«i(^)||) <«> où le sup est pris sur toute partition borélienne finie (A¡)¡t¡n de [0,1]. L'espace Ll(E) se plonge canoniquement dans MB(7s ), et il est naturel de se demander si MB(7s ) est faiblement séquentiellement complet lorsque E a cette propriété. Nous avons démontré dans [2] que MB(£) est faiblement séquentiellement complet si E" est faiblement séquentiellement complet, ou si E est un dual faiblement séquentielle- ment complet. Dans ce travail, nous allons montrer qu'il n'est pas suffisant de supposer que E est faiblement séquentiellement complet. Theoreme 1. Il existe un espace de Banach réticulé E faiblement séquentiellement complet (c'est-à-dire ne contenant pas c0) mais tel que la norme de MB(F) n'est pas continue en ordre. L'ordre sur MB(£) est l'ordre naturel: m > 0 si m(A) > 0 pour A G 9s. La décomposition des suites de Cauchy faibles de L\E) que nous avons mentionnée s'appuie sur le fait suivant: si (/„) est une suite bornée de D(E), il Received by the editors May 4, 1983. 1980 Mathematics Subject Classification. Primary 46B30; Secondary 46B25. Key words and phrases. Weakly sequentially complete, Banach lattice, space of measures. ©1984 American Mathematical Society 0002-9939/84 $1.00 + $.25 per page 285 License or copyright restrictions may apply to redistribution; see https://www.ams.org/journal-terms-of-use