Traitement multidimensionnel du signal par décomposition tensorielle Damien MUTI 1 , Salah BOURENNANE 1 1 Institut Fresnel / UMR CNRS 6133 - ENSPM, D.U. de Saint Jérôme F-13397 MARSEILLE Cedex 20, FRANCE. damien.muti@fresnel.fr, salah.bourennane@fresnel.fr Résumé – La modélisation multidimensionnelle du signal a été récemment adoptée moyennant l’ utilisation de nouveaux outils d’algèbre multilinéaire. Cet article présente tout d’abord la décomposition tensorielle de Tucker3 appelée aussi approximation de rang-(R1 ,...,RN ) inférieur d’ un tenseur, puis montre comment cet outil mathématique permet de développer un filtrage linéaire multdimensionnel. Une étude sur l’efficacité du filtrage est proposée pour le cas particulier du débruitage d’une image en couleur. Abstract – A multidimensional signal modelling has recently been adopted and implies the use of new tensorial algebra mathematical tools. This article presents Tucker3 tensor decomposition also called lower rank-(R1,...,RN ) tensor approximation. It is shown how this mathe- matical tool consists in a linear multidimensional filtering. A study on the filtering efficiency is proposed and applied to the particular case of color-image denoising. 1 Introduction Une modélisation multidimensionnelle peut être adoptée dans un grand nombre de problèmes se rattachant à des domaines aussi variés que la sociologie, l’ analyse de données ou le trai- tement du signal [2]. En physique et traitement du signal, les enregistrements numériques multidimensionnels sont modéli- sés par des tenseurs. Chaque mode d’un tenseur représente une grandeur physique telle que l’ espace (longueur, largeur, hau- teur), le temps, le canal de couleur (longueur d’onde), à laquelle est associée un espace vectoriel dont la dimension est égale au nombre d’échantillons numériques effectués dans cette dimen- sion. Par exemple, une image en couleur se modélise par un tenseur trimodal : deux modes sont associés aux lignes et aux colonnes, et un troisième au canal de couleur (RVB). De même, en sismique, ou en acoustique sous-marine, lorsqu’ une antenne rectiligne est employée, une modélisation trimodale des don- nées peut être adoptée : un mode est associé à l’ axe spatial, un mode au temps, et un dernier à la polarisation de l’ onde. Les traitements des données multidimensionnelles procèdent généralement à un découpage du tenseur en vecteurs, ou ma- trices d’observations, de sorte que les méthodes du second ordre soient applicables. Ces méthodes reposent essentiellement sur la matrice de covariance, et plus récemment sur les statistiques d’ordre supérieur [1]. Les données traitées sont ensuite fusion- nées pour retrouver la dimension du tenseur initial. Ce processus de découpage des données multidimension- nelles provoque inévitablement une perte d’information par rap- port à la quantité globale d’information contenue dans le ten- seur. En effet, par ce découpage, nous perdons les relations inter-composantes qui existent entre chaque “tranches” du ten- seur. Dans cet article, nous proposons de conserver le tenseur de données comme entité indivisible de manière à disposer po- tentiellement de plus d’information que ce que nous pourrions obtenir par le découpage du tenseur de données. Par cette ap- proche, nous cherchons à améliorer le traitement des données obtenu par les méthodes de second ordre. Cette nouvelle ap- proche implique l’ utilisation de nouveaux outils d’algèbre ten- sorielle, et tout particulièrement de décomposition tensorielle. Notre méthode repose sur de la décomposition tensorielle de Tucker3 [14] aussi connue sous le nom de Higher Order Singu- lar Value Decomposition (HOSVD) ou approximation de rang- (R 1 ,...,R N ) inférieur [5, 6]. Cette décomposition représente la généralisation de la Décomposition en Valeurs Singulières (DVS) des matrices aux tenseurs. Dans la suite, la section 2 propose un bref rappel d’ algèbre tensorielle et présente de façon plus détaillée la décomposition de Tucker3 appelée aussi approximation de rang-(R 1 ,...,R N ) inférieur d’un tenseur (LRTA). La section 3 présente comment ce nouvel outil mathématique d’ approximation tensorielle a été initialement utilisé en traitement du signal, notamment pour l’ analyse en composantes principales de données sismiques tri- dimensionnelles [9, 10, 11]. Une nouvelle interprétation physique de la décomposition tensorielle LRTA appliquée à des données tensorielles est proposée. Elle constitue un filtrage li- néaire multidimensionnel dans laquelle, dans chaque mode du tenseur le sous-espace bruit et le sous-espace signal sont déter- minés, et une projection sur le sous-espace signal est effectuée. Enfin, dans la section 4, l’apport de ce nouvau filtrage multidi- mensionnel par rapport à un filtrage bidimensionnel classique est montré pour le cas particulier du débruitage d’une image en couleur. Enfin, une étude qualitative (en terme d’efficacité de filtrage) sur l’algorithme ALS qui entre en jeu dans l’ approxi- mation tensorielle est proposée.