DECROISSANCE A L'INFINI DES FONCTIONS PROPRES DE L'OPERATEUR DE SCHRODINGER AVEC CHAMP ELECTROMAGNET/QUE POLYNOMIAL Par B. HELFFER* ET J. NOURRIGAT Dedicated to Professor Shmuel Agmon 1. Enonc6 du r6sultat On s'int6resse h l'op6rateur suivant: (1.1) n H = E(Dj -A/) 2 + V(x) j=l o6 Dj = ( 1/i)3/axj, et les Aj et V sont des polynhmes reels sur I~n, tels que V(x) > 0 pour tout x E ~n On a donne dans [He-No] un critEre pour que H soit h rEsolvante compacte. Ce critEre a Etd ensuite Etendu dans un cadre plus gEnEral darts [He-Mo] (voir Egalement l'article de base [Av-He-Si] et toute une sErie de rEsultats partiels dans la bibliographie de [He-Mo]). On se propose ici d'Etudier la ddcroissance l'infini des solutions ~b E S(~ n) de l'Equation H~b = Mb, A > 0, ameliorant ainsi les inEgalitEs classiques d'Agmon [A]. On associe aux potentiels Aj et Vla fonction suivante, introduite dans [He-No] (cf Egalement dans le cas sans champ magnEtique [Fe]): (i.2) M(x) = E tO~V(x)[1/r + Z iO BJ ( )i a c~j,k en posant (1.3) Bj~ = aAd&k - a&/&y. Le crit~re de compacitE de [He-No] dit simplement que H est h rEsolvante compacte si et seulement si M(x) tend vers l'c~ lorsque x tend vers l'c~. Rappelons qu'il rEsulte par exemple de [He-No] que, sous cette demi~re hypoth~se, toute solution dans S'(~') de l'Equation H~b = AVE, A > 0 est darts 8(1I~"). Darts le cas oh V(x) * B. H. est dEtach6 en 1990-1991 de l'universit6 Paris-Sud au Wissenschaftskolleg zu Berlin. 263 JOURNAL D'AE/ALYSE MATH~MATIQUE, Vol. 58 (1992)