Sobre Alian¸ cas Defensivas em Grafos Rommel Melga¸ co Barbosa, Elisˆ angela Silva Dias , Instituto de Inform´ atica, UFG, Caixa Postal 131, Campus II, CEP: 74001-970, Goiˆ ania, GO E-mail: {rommel, elisangela}@inf.ufg.br Resumo: Uma alian¸ ca defensiva no grafo G =(V,E) ´ e um conjunto de v´ ertices S ⊆ V satisfa- zendo a condi¸ c˜ao de que todo v´ ertice v ∈ S tem no m´ aximo um vizinho a mais em V - S que em S . Devido a este tipo de alian¸ ca, os v´ ertices em S juntam para se defenderem dos v´ ertices em V - S . Um conjunto seguro S ⊆ V no grafo G =(V,E) ´ e um conjunto no qual todo subconjunto n˜ao-vazio pode ser defendido com sucesso de um ataque, sob as defini¸ c˜oes apropriadas de “ata- que” e “defesa”. Apresentamos aqui os conceitos para o entendimento das alian¸ cas em grafos, junto com uma variedade de tipos de alian¸ cas e seus respectivos n´ umeros, e mostramos novos resultados sobre propriedades de alian¸ cas em grafos grade, ciclo, roda, caminho e grafo infinito com rela¸ c˜aoaon´ umero da alian¸ ca defensiva global, ao n´ umero da alian¸ ca defensiva forte global e ao conjunto seguro de tais grafos. Palavras-chave: Alian¸ cas em grafos, alian¸ ca defensiva, conjunto seguro. 1 Introdu¸ c˜ ao Denotamos por G =(V,E) um grafo tendo o conjunto de v´ ertices V e o conjunto de arestas E. Se |V | = n e |E| = m, dizemos que G ´ e de ordem n e tamanho m. Para qualquer v´ ertice v ∈ V , a vizinhan¸ ca aberta de um v´ ertice v ´ e o conjunto N (v)= {u : uv ∈ E}, enquanto a vizinhan¸ ca fechada de v ´ e o conjunto N [v]= N (v) ∪{v}. As vizinhan¸ cas aberta e fechada do conjunto de v´ ertices S ⊆ V s˜ ao definidas como segue: N (S )= ∪ v∈S N (v)e N [S ]= N (S ) ∪ S . Similarmente, para um conjunto S ,a fronteira de S ´ e o conjunto ∂S = N [S ] - S . Um subgrafo de G =(V,E)´ e um grafo G 0 =(V 0 ,E 0 ) tal que V 0 ⊆ V e E 0 ⊆ E. G 0 ´ e um subgrafopr´orio se G 0 6= G. Se G 0 for um subgrafo de G que cont´ em todas as arestas vw ∈ E com (v,w) ∈ V 0 , ent˜ ao G 0 ´ e um subgrafo induzido de G. Para um subconjunto n˜ ao-vazio S ⊆ V , denotamos por hS i o subgrafo de G induzido por S . Dizemos que um conjunto S ⊆ V ´ e um conjunto dominante se N [S ]= V , ou seja, S ∪ ∂S = V . O n´ umero de domina¸ c˜ao, denotado por γ (G), ´ e a cardinalidade m´ ınima de um conjunto dominante, ou seja, ´ e o tamanho do menor conjunto dominante minimal de um grafo. Um conjunto S ´ e um conjunto dominante total ou conjunto dominante aberto se N (S )= V ou, equivalentemente, se para todo v ∈ V , existe um u ∈ S , u 6= v, tal que u ´ e adjacente a v. Em um conjunto dominante total, cada v´ ertice ´ e adjacente a outro v´ ertice de S , incluindo os pr´ oprios v´ ertices de S , isto ´ e, nenhum v´ ertice de S ´ e um v´ ertice isolado em hS i. O n´ umero de domina¸ c˜ ao total, denotado por γ t (G), ´ e a cardinalidade m´ ınima de um conjunto dominante dominante total. O tamanho do menor ciclo no grafo G ´ e chamado cintura de G e´ e denotado por cintura(G). Um grafo sem ciclos tem uma cintura de comprimento infinito. Note que, por defini¸c˜ ao, um ciclo C n de tamanho cintura(G) n˜ ao cont´ em quaisquer cordas, isto ´ e, arestas entre dois v´ ertices n˜ ao-consecutivos em C n . Assim, por lcc(G) entenda que ´ e o tamanho m´ aximo de um ciclo sem corda em um grafo G. 673