Métodos multi-malhas aplicados à equação de Poisson bidimensional Leticia Braga Berlandi, Analice Costacurta Brandi Departamento de Matemática e Computação Faculdade de Ciências e Tecnologia, UNESP Presidente Prudente - SP, Brasil leticiaberlandi@gmail.com, analice@fct.unesp.br Resumo—O presente trabalho consiste em resolver a equação diferencial parcial elíptica de Poisson, onde a condição de contorno do tipo Dirichlet foi considerada para a obtenção da solução numérica do problema bidimensional, considerando um domínio quadrado. O objetivo deste trabalho é analisar a eficiência computacional de métodos multi-malhas (ou multigrid) quando aplicados à resolução de sistemas lineares provenientes do método de diferenças finitas. No processo de resolução da equação diferencial foram utilizados dois métodos iterativos, o esquema Correction Scheme (CS) e o esquema Full Approximation Scheme (FAS). Ambos os métodos foram implementados no software Matlab, onde os resultados obtidos foram comparados com a solução analítica conhecida na literatura. Dessa forma, foi realizada uma comparação dos métodos multigrid CS e FAS para verificar se os métodos numéricos utilizados foram eficientes para a solução desse tipo de problema. Palavras-chave—Equação de Poisson; método de diferenças finitas; métodos multigrid; Matlab. I. I NTRODUÇÃO Problemas de equilíbrio são aqueles em que o sistema permanece constante em relação ao tempo, também são conhecidos como problemas em regime permanente ou no estado estacionário e geralmente, dão origem a equações elípticas. As mais conhecidas dessas equações são as equações de Poisson e de Laplace, cujas aplicações são as mais variadas como, por exemplo, problemas de pressão, problemas em elasticidade, problemas de camada limite, problemas de vibração em membranas, problemas de difusão [2], dentre outras. O avanço computacional nos últimos anos foi decisivo para o destaque da simulação numérica no estudo desses problemas, aprimorando cada vez mais os métodos numéricos. A discretização de problemas elípticos utilizando o método de diferenças finitas resulta em um sistema de equações lineares que tem uma estrutura bastante peculiar. Em geral, a matriz desse sistema contém apenas alguns poucos elementos não nulos em cada linha, ou seja, é esparsa, exigindo métodos iterativos que se aproveitem dessa estrutura para resolvê-los mais rapidamente [9]. Outra particularidade dos sistemas lineares provenientes da discretização dessas equações é que são, em geral, muito grandes, pois o número de incógnitas é aproximadamente proporcional ao número de pontos da malha. Na simulação de problemas reais uma tal malha conteria ainda um número muito reduzido de pontos para uma boa representação dos fenômenos que se pretende simular, de forma que malhas mais finas são uma necessidade [1]. A grande dificuldade imposta pelo processo de preenchimento da matriz está em não saber, a priori, quais elementos serão modificados. Portanto, deve-se reservar o espaço necessário para armazenar toda a matriz na memória do computador, apesar da maior parte desse espaço ser preenchida com zeros. Os métodos iterativos não têm esse problema, pois requerem somente o resultado da multiplicação da matriz dos coeficientes por um vetor e, portanto, o padrão de zeros da matriz não sofre qualquer modificação ao longo do processo [4]. Este trabalho trata da aplicação de métodos de solução de sistemas de equações lineares para a solução de problemas elípticos, em especial para a equação de Poisson bidimensional, em que o método de diferenças finitas foi utilizado para aproximação da solução dessa equação. Além disso, a implementação do algoritmo foi realizada