Ecuaci´on matricial de Stein relacionada con la matriz de transferencia de sistemas din´ amicos lineales sobre anillos conmutativos M. Isabel Garc ´ ıa-Planas 1 , M. Montserrat L ´ opez-Cabeceira 2 1 Dpt. de Matem`atica Aplicada I, Universitat Polit` ecnica de Catalunya, Barcelona. E-mail: maria.isabel.garcia@upc.edu. 2 Dpto. de Matem´aticas, Universidad de Le´ on, Le´ on. E-mail: mmlopc@unileon.es. Resumen Este trabajo est´a inmerso en el campo de la Teor´ ıa de Control sobre un anillo conmutativo R con elemento unidad. Dado un sistema din´amico lineal invariante en el tiempo representado por x + (t)= Ax(t)+ Bu(t) sobre R, analizamos las condiciones bajo las cuales la matriz de transferencia H(s)=(sI - A) -1 B del sistema es polino- mial, mediante un feedback proporcional y derivado u(t)= -F A x(t) - F E x + (t). El problema de determinar controladores polinomiales est´a relacionado con las soluciones de la ecuaci´on de Stein AXN +X = BY . Para completar nuestro problema, discutimos dicha ecuaci´on sobre R y en particular sobre un dominio de ideales principales. Palabras clave: Matriz polinomial, Valores propios, Ecuaci´on de Stein. 1. Introducci´on Sea R un anillo conmutativo con elemento unidad. En general, un sistema din´amico lineal n-input m-dimensional p-output sobre R viene dado por las ecuaciones de control Ex + (t)= Ax(t)+ Bu(t)e y(t)= Cx(t). En nuestro art´ ıculo nos centramos en el an´alisis de conducta de los estados x(t) y en una matriz E invertible mediante acci´on de feedback. Desde este punto de vista, partimos de un sistema din´amico n-input m-dimensional, dado por una terna Σ = (I n , A, B) (que escribiremos sencillamente como el par Σ = (A, B) si no hay lugar a confusi´on), con coeficientes constantes sobre R, controlado por la ecuaci´on I n x + (t)= Ax(t)+ Bu(t). As´ ı, aplicando la transformada de Laplace, reducimos el control de estados del sistema a la expresi´on x * (t)=(I n s - A) -1 Bu * (s), (ver [7]). Se denomina polinomio caracter´ ıstico del sistema a ℵ(s) = det(I n s - A). La matriz racional H (s)=(I n s - A) -1 B (1) es la matriz de transferencia del sistema y, rec´ ıprocamente, se dice que el par Σ = (A, B) es una realizaci´on de la matriz de transferencia H (s). 1