УДК 512.5 : 517.982 ПОРЯДКОВЫЕ ВЕРСИИ ТЕОРЕМЫ ХАНА–БАНАХА И ОГИБАЮЩИЕ. I. ОДНОРОДНЫЕ ФУНКЦИИ Хабибуллин Б. Н., Розит А. П., Хабибуллин Ф. Б. Мы приводим здесь общую постановку задачи существования и построения верх- ней и нижней огибающей для произвольной функции со значениями из пополне- ния упорядоченного множества S по некоторому классу функций со значениями из S. Задача разбирается пока только для простейшего случая модельного класса однородных функций. Рассматриваем лишь порядково-алгебраические версии без привлечения топологии. 1. Введение. Определения и постановки задач Одна из классических форм Теоремы Хана–Банаха для векторных пространств X над полем вещественных чисел R гласит [1]: любая положительно однородная субаддитивная, и только такая, функция f : X → R равна поточечной точной верхней грани всех линейных функ- ций ϕ : X → R, мажорируемых поточечно функцией f в том смысле, что ϕ(x)  f (x) для всех x ∈ X , т. е. функция f совпадает со своей нижней огибающей по классу линейных функций. В «Математической энциклопедии» [2; Хана–Банаха теорема] формулировка Теоремы Хана– Банаха для векторного пространства некорректна: «В случае действи- тельного пространства X полунорму можно заменить положительно однородным функционалом, . . . », т. е. опущено требование субаддитив- ности. Тем не менее, основным ориентиром в выборе терминологии, где это возможно, выбрана именно «Математическая энциклопедия» [2]. При этом, поскольку в различных источниках и у разных авторов терминоло- гия зачастую существенно разнится, в нашем изложении по возможности все, даже элементарные, определения, понятия и утверждения, встречав- шиеся нам в литературе хотя бы раз в различных смыслах и трактовках, приводятся полностью во избежание разночтений. Дадим здесь возможную общую постановку этой проблематики, мо- тивированную для нас предшествующими применениями утверждений подобного рода в теории функций [3]–[4] (см. также [5]–[8]). arXiv:1603.03472v1 [math.RA] 9 Mar 2016