ESTABILIZA¸ C ˜ AO GLOBAL PARA UMA CLASSE DE SISTEMAS HIPERCA ´ OTICOS ATRAV ´ ES DE OBSERVADORES DA NORMA EM CASCATA Victor Hugo Pereira Rodrigues * , Manuchi Martins Dansa * , Tiago Roux Oliveira * * Departamento de Engenharia Eletrˆ onica e Telecomunica¸ c˜ oes — Faculdade de Engenharia Universidade do Estado do Rio de Janeiro — Rua S˜ ao Francisco Xavier 524, sala 5001E — 20559-900 Emails: victor.vhpr@yahoo.com, manuchid@gmail.com, tiagoroux@uerj.br Abstract— In this work, we have assumed that the parameters of a seven-dimensional hyperchaotic system are uncertain and only the output variable is available for feedback (partial-state feedback). Exploring ISS (Input-to-State Stable/Stability) properties of the system, an upper bound for the norm of the unmeasured state vector is developed from the system output. Such norm estimate provided by cascade norm observers is applied to obtain the output-feedback sliding mode control law. Based on Lyapunov’s stability theory, it was possible to guarantee that the proposed controller is able to globally stabilize the considered hyperchaotic system, i.e., the initial conditions can be arbitrary. Simulation results illustrate robust stabilization in the presence of disturbances and uncertainties. Keywords— Hyperchaotic Systems; Sliding Mode Control; Output-Feedback; Global Stabilization; Input-to- State Stability. Resumo— Neste trabalho, assume-se que todos os parˆ ametros de um sistema hiperca´ otico de s´ etima dimens˜ ao s˜ao incertos e que apenas o vetor de sa´ ıda est´ a dispon´ ıvel para a realimenta¸ c˜ao(realimenta¸ c˜ao parcial de estado). Explorando propriedades ISS (Input-to-State Stable/Stability) do sistema, um limitante superior para a norma do vetor de estado n˜ ao mensurado ´ e projetado atrav´ es da sa´ ıda do sistema. Tal estimativa da norma ´ e fornecida por observadores da norma em cascata, e aplicada na lei de controle por modo deslizante via realimenta¸ c˜aode sa´ ıda. Baseado na teoria de estabilidade de Lyapunov, foi poss´ ıvel garantir que o controlador proposto ´ e capaz de estabilizar globalmente o sistema hiperca´ otico considerado. Resultados de simula¸ c˜ao ilustram a robustez na estabiliza¸ c˜ao, mesmo na presen¸ ca de dist´ urbios e incertezas param´ etricas. Palavras-chave— Sistemas Hiperca´ oticos; Controle por Modos Deslizantes; Realimenta¸ c˜aodeSa´ ıda; Estabi- liza¸ c˜ao Global; Estabilidade Entrada-Estado. 1 Introdu¸ c˜ ao A teoria do caos tem sido aplicada a v´ arios cam- pos: circuitos eletrˆ onicos (Ge et al., 2011), sin- croniza¸ c˜ ao (Souza et al., 2008) , comunica¸ c˜ ao se- gura (Cuomo and Oppenheim, 1993) , convers˜ ao de energia (Hou, 2012) e meteorologia (Lorenz, 1963). Em (Jang et al., 2002; Nazzal and Natsheh, 2007), leis de controle adaptativas e por modos deslizantes foram aplicadas ao circuito de Chua (Chua, 1992), enquanto abordagens utilizando um controlador a estrutura vari´ avel foi proposta em (Araujo and Singh, 2002) para estabilizar o sis- tema de Lorenz na presen¸ ca de dist´ urbios. Por outro lado, controladores por modos deslizantes foram projetados para estabilizar o circuito ca´ o- tico de Liu em (Liu et al., 2004) e tamb´ em em (Dadras et al., 2009; El-Khazali et al., 2006). Em todos os trabalhos (Jang et al., 2002; Nazzal and Natsheh, 2007; Araujo and Singh, 2002; Liu et al., 2004; Dadras et al., 2009; El-Khazali et al., 2006) , a medi¸ c˜ ao do estado foi necess´ aria ou apenas a estabilidade local foi demonstrada. Grande parte da literatura de teoria de con- trole n˜ ao-linear desenvolvida ´ e baseada na hip´ o- tese do conhecimento das vari´ aveis de estado do sistema a ser controlado. Todavia, essa suposi- ¸ c˜ ao n˜ ao ´ e totalmente v´ alida na pr´ atica. Em geral, ´ e poss´ ıvel mensurar apenas parte do vetor de es- -10 0 10 -10 0 10 -5 0 5 x 4 (t) x 5 (t) x 6 (t) Figura 1: Trajet´ orias das vari´ aveis de estado x 4 , x 5 e x 6 do sistema hiperca´ otico (1)–(7) com u(t) ≡ d u (t) ≡ 0. tado devido a limita¸ c˜ oes de localiza¸ c˜ ao e n´ umero de sensores. As demais vari´ aveis n˜ ao s˜ ao fisica- mente ou economicamente dispon´ ıveis. A contribui¸ c˜ ao deste trabalho ´ e a proposta de uma nova estrat´ egia de controle para estabilizar de forma global um sistema hiperca´ otico utilizando- se o controle por modos deslizantes (Sliding Mode Control - SMC) (Utkin, 1978). Foi descoberto que esse sistema hiperca´ otico de s´ etimadimens˜ao tem uma propriedade ISS (Input-to-State Stabi- lity) que permite o projeto de um controlador glo- bal usando apenas as informa¸ c˜ oes de entrada e de sa´ ıda. Ao inv´ es da aplica¸ c˜ ao de observadores cl´ assicos, utilizaram-se observadores da norma em cascata para o vetor de estado n˜ ao mensurado no XII Simp´ osio Brasileiro de Automa¸ c˜ ao Inteligente (SBAI) Natal – RN, 25 a 28 de outubro de 2015 1997