LA GACETA DE LA RSME, Vol. 10.1 (2007), P´ ags. 53–70 53 El teorema del punto fijo sin homolog´ ıa: un enfoque combinatorio por R. Ayala G´omez, D. Fern´ andez Ternero y J. A. Vilches Alarc´ on Tradicionalmente, el m´ etodo para demostrar el Teorema del Punto Fijo de Brouwer n-dimensional consiste en probar antes que el n-´ esimo grupo de homolog´ ıa simplicial de la esfera S n no es trivial. Sin embargo, el Teorema de Brouwer y el Lema de Sperner, conocido resul- tado de Topolog´ ıa Combinatoria, pueden deducirse el uno del otro. La formulaci´on y demostraci´on del Lema de Sperner requieren ´ unicamente un entendimiento muy intuitivo del concepto de triangulaci´ on, por lo que se puede incluir en un curso de introducci´ on a la Topolog´ ıa Algebraica. En este trabajo se expone la equivalencia entre los resultados de Brouwer y Sperner, que no suele encontrarse en la literatura, y se se˜ nala su relaci´ on con otros resultados importantes de la Topolog´ ıa Algebraica. Es frecuente que en los cursos de introducci´ on a la Topolog´ ıa Algebraica se presente como uno de los resultados de inter´ es que justifican el contenido del curso el Teorema del Punto Fijo de Brouwer que afirma que toda aplicaci´ on continua de un compacto convexo de R n en s´ ı mismo tiene un punto fijo. Bien es verdad que este resultado se utiliza con menos frecuencia que el teorema del punto fijo de Banach para funciones contractivas, pero es, por ejemplo, una herramienta de gran utilidad para resolver ecuaciones en derivadas parciales no lineales usando el m´ etodo de Galerkine. Aparte de que este resultado es de gran importancia en la demostraci´ on de ciertos teoremas de existencia de soluciones de ecuaciones en diversas ramas del An´alisis, es equivalente a la afirmaci´on de que las esferas S n no son contr´ actiles. Para demostrar este resultado en dimensi´on 2, suele invocarse la necesidad de probar que el grupo fundamental de S 1 es no trivial, y a continuaci´ on se plantea que en dimensiones superiores es imprescindible disponer de otras herramientas de Topolog´ ıa Algebraica, como son los grupos de Homolog´ ıa simplicial o singular. Debido sin duda a la influencia del libro de Eilenberg- Steenrod [17], este teorema y sus corolarios se presentan como ejemplos de la gran eficacia e inter´ es de los m´ etodos de la Teor´ ıa de Homolog´ ıa. De hecho, a partir de la propiedad de que la esfera no es contr´ actil se obtienen en el Cap´ ıtulo XI del citado libro el teorema de la no retracci´ on, la invariancia de la dimensi´ on, el criterio de separaci´on de Borsuk, el teorema de la invariancia del dominio y otros resultados sobre espacios localmente eucl´ ıdeos. Sin embargo, no es necesario usar estos m´ etodos para obtener el Teorema del Punto Fijo y vamos a exponer c´ omo dicho resultado es consecuencia de un resultado de Topolog´ ıa Combinatoria elemental, conocido como Lema de