Раздел 1 ВИРТУАЛЬНЫЕ И ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНЫЕСИСТЕМЫ В НАУКЕ И ТЕХНИКЕ ПОЛЗУНОВСКИЙ АЛЬМАНАХ №4 2021 5 УДК 53.087.7 БИФУРКАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ НА ОСНОВЕ JERK–СИСТЕМЫ СПРОТТА Т. В. Патрушева, Н. С. Верейкин Алтайский государственный технический университет имени И.И. Ползунова, г. Барнаул Статья посвящена бифуркационному анализу Jerk–системы Спротта применительно для использования в качестве измерительного преобразователя. Осуществляется нахож- дение граничных значений коэффициентов Jerk–системы при которых в ней наблюдается хаос. Рассмотрена эволюция поведения хаотической системы в зависимости от значений коэффициентов уравнения системы. Были получены однопараметрические и двухпарамет- рические бифуркационные диаграммы. Делается вывод о возможности построения измери- тельных преобразователей на основе Jerk–системы Спротта для обнаружения периодиче- ских сигналов в датчиках. Ключевые слова: локальная бифуркация, автономный генератор хаоса, бифуркация устойчивости периодического движения, обнаружение сигналов. Введение Среди доступных для реализации про- стых динамических систем, демонстрирую- щих хаос, одной из самых известных являет- ся Jerk–система Спротта [1]. Система описы- вается уравнением (1): + + = − , 1 = −1, ∈ (−∞; 0) 0, =0 1, ∈ (0; +∞) . (2) Данная система обладает исключитель- ной простотой практической реализации и в настоящей работе осуществляется анализ возможности применения этого генератора хаоса для задач обнаружения периодических сигналов в условия действия случайных по- мех. Анализ локальных бифуркаций У систем, демонстрирующих хаос, есть состояние равновесия, которому отвечает точка в пространстве фазовых координат системы. Для нахождения точек равновесия уравнение (1) можно переписать в виде трех обыкновенных дифференциальных уравне- ний первого порядка. Получим систему урав- нений: = = = ∙ − − ∙ − ∙ , (3) где x, y, z – динамические переменные [2]. Далее, заменим производные , и нулями и решим систему относительно x, y, z. В результате получим точки равновесия: 1 = 1 0 0 , 2 = −1 0 0 , 3 = 0 0 0 . (4) Для анализа системы на устойчивость необходимо найти собственные значения матрицы, которые можно получить из харак- теристического уравнения (5): = − ∙ , (5) где J – якобиан системы уравнений (3) для точек равновесия 1 и 2 , E – единичная мат- рица: = 0 1 0 0 0 1 − − − , = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , (6) , , , = − ∙ − ∙ 2 − 3 −. (7) Для нахождения корней уравнения (7) необходимо приравнять его к нулю. В резуль- тате решения данного уравнения при А=3, В=1.5 и С=5 получаются корни: 1 = −3.046, 2 = 0.023 − 1.28 , 3 = 0.023 + 1.28 . На рисунке 1 изображен неустойчивый фокус при заданных коэффициентах А, В и С.